Что такое аргумент комплексного числа?
Любое комплексное число \(z = a + bi\) можно изобразить точкой \((a, b)\) на комплексной плоскости. Его аргумент (его также называют фазой или амплитудой) — это угол, который образует луч из начала координат к этой точке с положительным направлением действительной оси, отсчитываемый против часовой стрелки. Вместе с модулем \(|z|\) аргумент задаёт тригонометрическую (полярную) форму комплексного числа: $$z = |z|(\cos\theta + i\cdot\sin\theta).$$
Как пользоваться калькулятором
Введите действительную часть a и мнимую часть b вашего числа \(a + bi\). Калькулятор выдаст аргумент сразу в радианах и градусах, а также модуль. Отрицательные значения допускаются — результат автоматически попадает в нужную четверть.
Разбор формулы
Самый простой подход — взять \(\theta = \operatorname{arctg}(b/a)\), но он не работает при \(a = 0\) и не различает координатные четверти. Поэтому мы используем функцию двух аргументов \(\operatorname{atan2}(b, a)\): она анализирует знаки и \(a\), и \(b\) и возвращает верный угол в диапазоне \((-\pi, \pi]\). Модуль же равен евклидову расстоянию $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
Пример с решением
Пусть \(z = 1 + i\), тогда \(a = 1\) и \(b = 1\). Получаем $$\arg(z) = \operatorname{atan2}(1, 1) = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854 \text{ радиана} = 45°,$$ а \(|z| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Значит, число \(1 + i\) лежит на прямой \(y = x\) в первой четверти — ровно так, как и должно быть.
Частые вопросы
В каком диапазоне лежит аргумент? По соглашению главное значение находится в промежутке \((-\pi, \pi]\), то есть от -180° до 180°.
Чему равен \(\arg(0)\)? Аргумент нуля не определён; функция \(\operatorname{atan2}(0, 0)\) возвращает здесь 0, но при \(|z| = 0\) этот угол не имеет реального смысла.
Зачем нужны и градусы, и радианы? Радианы — стандарт в математическом анализе и формуле Эйлера, а градусы часто нагляднее представить. Для удобства мы показываем оба варианта.
