Что такое калькулятор перевода в алгебраическую форму?
Комплексное число можно записать двумя равнозначными способами. Тригонометрическая (полярная) форма задаёт его через модуль r (расстояние от начала координат) и угол θ (направление). Алгебраическая форма записывается как a + bi, где a — действительная часть, а b — мнимая. Этот калькулятор мгновенно переводит полярные координаты в алгебраическую форму.
Как пользоваться калькулятором
Укажите модуль r и угол θ, а затем выберите единицу измерения угла — градусы или радианы. Калькулятор вернёт действительную и мнимую части и покажет полное выражение вида a + bi. Если угол задан в градусах, программа переводит его в радианы по формуле \(\theta \times \frac{\pi}{180}\).
Разбор формулы
Перевод напрямую следует из тригонометрии на комплексной плоскости. Точка на расстоянии r под углом θ имеет горизонтальную координату \(a = r\cdot\cos(\theta)\) и вертикальную координату \(b = r\cdot\sin(\theta)\). Поэтому комплексное число равно
$$z = r\cdot(\cos\theta + i\cdot\sin\theta) = a + bi$$— это та же формула Эйлера, только в развёрнутом виде (\(r\cdot e^{i\theta}\)).
Разбор примера
Пусть r = 5, а θ = 53,13°. Тогда
$$a = 5 \times \cos(53{,}13°) \approx 5 \times 0{,}6 = 3{,}00$$$$b = 5 \times \sin(53{,}13°) \approx 5 \times 0{,}8 = 4{,}00$$Алгебраическая форма приблизительно равна 3 + 4i — это классический египетский треугольник со сторонами 3-4-5.
Частые вопросы
А если угол отрицательный? Отрицательный угол просто означает поворот по часовой стрелке. Синус и косинус сами учитывают знаки, поэтому b может оказаться отрицательным (например, 3 − 4i).
Градусы или радианы? Поддерживаются оба варианта. Выбирайте ту единицу, в которой заданы ваши исходные данные — после перевода результат будет одинаковым.
Чем это отличается от перевода в полярную форму? Здесь мы идём от (r, θ) к (a, b). Обратное преобразование выполняется по формулам \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) и \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\).
