Что такое тригонометрическая форма?
Любое комплексное число можно записать двумя способами. Алгебраическая (или декартова) форма — это \(a + bi\), где \(a\) — действительная часть, а \(b\) — мнимая. Тригонометрическая (полярная) форма описывает то же самое число через его расстояние до начала координат и направление: \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\). Часто её сокращают до \(r\angle\theta\) или записывают в показательном виде как \(r\cdot e^{i\theta}\). Этот калькулятор переводит любое комплексное число из алгебраической формы в тригонометрическую, выдавая модуль \(r\) и угол \(\theta\) сразу в градусах и радианах.
Как пользоваться калькулятором
Введите действительную часть \(a\) и мнимую часть \(b\) вашего комплексного числа и сразу же получите результат. Модуль показывает, как далеко точка отстоит от начала координат, а угол задаёт её направление относительно положительной полуоси действительных чисел. Обе формы описывают одну и ту же точку на комплексной плоскости.
Разбор формулы
Модуль находится по теореме Пифагора: $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Угол вычисляется через двухаргументный арктангенс $$\theta = \operatorname{atan2}(b, a)$$ который автоматически определяет правильную четверть — обычный \(\arctan(b/a)\) этого не умеет, потому что теряет информацию о знаках. Результат лежит в диапазоне \((-180°, 180°]\). Чтобы перевести радианы в градусы, умножьте на \(180/\pi\).
Разбор примера
Возьмём комплексное число \(3 + 4i\). Модуль равен $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Угол $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ радиана} \approx 53{,}13°$$ Значит, \(3 + 4i = 5(\cos 53{,}13° + i\cdot\sin 53{,}13°)\).
Частые вопросы
Почему используется atan2, а не arctan? Потому что atan2 учитывает знаки обоих чисел — \(a\) и \(b\) — и поэтому помещает угол в нужную четверть. Например, для \(-1 - i\) обычный arctan дал бы неверный результат.
В каком диапазоне получается угол? Угол возвращается в пределах от \(-180°\) до \(+180°\) (или от \(-\pi\) до \(\pi\) радиан). Если вам удобнее диапазон 0–360°, прибавьте \(360°\).
Что если и a, и b равны нулю? Тогда \(r = 0\), а угол не определён (этот калькулятор возвращает 0).
