Что делает этот калькулятор?
Инструмент переводит комплексное число из алгебраической (декартовой) формы a + bi в тригонометрическую. В тригонометрической форме то же самое число задаётся через расстояние до начала координат (модуль r) и угол, который оно образует с положительным направлением действительной оси (аргумент θ). Записывается это как \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\) или коротко — \(r\angle\theta\).
Как пользоваться
Введите действительную часть a и мнимую часть b вашего комплексного числа — и сразу получите модуль и аргумент. Угол выводится одновременно в радианах и градусах, так что вы можете выбрать ту единицу, которая нужна именно в вашей задаче.
Разбор формулы
Модуль вычисляется напрямую по теореме Пифагора:
$$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$— это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Аргумент находится через функцию арктангенса с двумя аргументами:
$$\theta = \operatorname{atan2}(b,\, a)$$Она возвращает корректный угол во всём диапазоне \((-\pi, \pi]\), учитывая знаки и a, и b. Благодаря этому удаётся избежать неоднозначности по четвертям, которая возникает при обычном \(\arctan(b/a)\).
Пример с решением
Возьмём комплексное число 3 + 4i. Модуль равен
$$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$Аргумент:
$$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ радиан} \approx 53{,}13°$$Значит, \(3 + 4i = 5(\cos 53{,}13° + i\cdot\sin 53{,}13°)\).
Частые вопросы
Почему atan2, а не обычный арктангенс? Обычный arctan теряет информацию о знаках и не определяет, в какой четверти лежит точка. Функция \(\operatorname{atan2}(b, a)\) использует оба значения и возвращает истинный угол.
В каком диапазоне находится угол? В радианах угол лежит в промежутке \((-\pi, \pi]\), то есть \((-180°, 180°]\). Если удобнее работать с положительным углом, прибавьте 360° (или \(2\pi\)).
Что если и a, и b равны нулю? Тогда модуль равен 0, а аргумент не определён (по общепринятому соглашению возвращается значение 0).
