Что умеет этот калькулятор
Калькулятор внутренних углов многоугольника вычисляет суммарную величину всех внутренних углов любого многоугольника, размер каждого внутреннего угла (для правильного многоугольника), а также величину каждого внешнего угла. Достаточно указать число сторон n — и инструмент мгновенно применит стандартные формулы для углов многоугольника. Подходит для треугольников, четырёхугольников, пятиугольников, шестиугольников и фигур с любым числом сторон.
Как пользоваться
Введите число сторон \(n\) — оно должно быть не меньше 3, ведь у многоугольника не может быть меньше трёх сторон. Нажмите «Рассчитать» — и вы увидите сумму внутренних углов, а также величину каждого внутреннего и внешнего угла в предположении, что многоугольник правильный (все стороны и углы равны). Для неправильного многоугольника универсально верна только сумма углов: отдельные углы будут различаться.
Разбор формулы
Любой многоугольник можно разбить на \((n - 2)\) треугольника, и каждый треугольник даёт 180°. Поэтому сумма всех внутренних углов равна:
$$\text{Сумма} = \left(n - 2\right) \times 180^{\circ}$$
В правильном многоугольнике все внутренние углы одинаковы, поэтому каждый из них равен сумме, делённой на \(n\):
$$\text{Каждый внутренний угол} = \frac{\left(n - 2\right) \times 180^{\circ}}{n}$$
Поскольку внутренний и внешний углы у каждой стороны в сумме дают 180° (смежные углы), каждый внешний угол правильного многоугольника равен просто \(\frac{360^{\circ}}{n}\), а все внешние углы в сумме всегда составляют 360°.
Разбор примера
Возьмём шестиугольник, \(n = 6\). Сумма внутренних углов равна $$\left(6 - 2\right) \times 180 = 4 \times 180 = 720^{\circ}.$$ Каждый внутренний угол: \(720 \div 6 = 120^{\circ}\). Каждый внешний угол: \(360 \div 6 = 60^{\circ}\). Проверка: \(120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}\) — углы действительно смежные.
Частые вопросы
Подходит ли он для неправильных многоугольников? Сумма внутренних углов верна для любого многоугольника — как правильного, так и нет. А вот результаты «каждый угол» рассчитаны для правильного многоугольника с равными углами.
Какой многоугольник самый маленький? Треугольник, у которого \(n = 3\), а сумма внутренних углов всегда равна 180°.
Почему сумма внешних углов всегда равна 360°? Обходя любой выпуклый многоугольник по периметру один раз, вы поворачиваетесь на полный круг, поэтому сумма поворотов (внешних углов) составляет 360° независимо от числа сторон.
