Что такое внешний угол многоугольника?
Внешний угол многоугольника — это угол между одной из его сторон и продолжением соседней стороны. Для любого выпуклого многоугольника сумма всех внешних углов всегда равна полному обороту в 360°. В правильном многоугольнике (где все стороны и углы равны) каждый внешний угол вычисляется элементарно: это 360°, делённые на число сторон. Поэтому, зная \(n\), ответ можно получить мгновенно.
Как пользоваться калькулятором
Введите число сторон \(n\) (не меньше 3), и калькулятор сразу покажет величину каждого внешнего угла, каждого внутреннего угла, сумму всех внутренних углов и постоянную сумму внешних углов. Расчёт подходит для треугольников, квадратов, пятиугольников, шестиугольников и любых правильных многоугольников с бо́льшим числом сторон.
Разбираем формулы
Каждый внешний угол равен $$\text{Внешний угол} = \frac{360^{\circ}}{n}$$ потому что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда составляет 360°. Соответствующий внутренний угол является дополнением внешнего до развёрнутого и находится по формуле $$\frac{(n - 2) \times 180^{\circ}}{n}$$ Общая сумма внутренних углов равна \((n - 2) \times 180^{\circ}\), ведь любой n-угольник можно разбить на \((n - 2)\) треугольника.
Пример расчёта
Для правильного шестиугольника (\(n = 6\)): каждый внешний угол $$= \frac{360}{6} = 60^{\circ}$$ Каждый внутренний угол $$= \frac{(6 - 2) \times 180}{6} = \frac{720}{6} = 120^{\circ}$$ Сумма внутренних углов равна \((6 - 2) \times 180 = 720^{\circ}\), а сумма внешних углов всегда остаётся равной 360°.
Частые вопросы
Всегда ли сумма внешних углов равна 360°? Да — для любого выпуклого многоугольника, независимо от числа сторон, сумма внешних углов составляет ровно 360°.
Работает ли это для неправильных многоугольников? Расчёт отдельных углов справедлив только для правильного многоугольника. А вот формула суммы внутренних углов \((n - 2) \times 180^{\circ}\) верна для любого простого выпуклого многоугольника — как правильного, так и нет.
Какой многоугольник самый маленький? Треугольник с \(n = 3\). Если он правильный (равносторонний), его внешний угол равен 120°, а внутренний — 60°.
