Что считает этот калькулятор
Инструмент находит кратчайшее (перпендикулярное) расстояние от точки до прямой на плоскости. Прямая задаётся общим уравнением \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\), а точка — своими координатами \((x_0, y_0)\). Результат — это всегда неотрицательная длина, отложенная по перпендикуляру к прямой.
Как пользоваться
Введите три коэффициента a, b и c из уравнения вашей прямой, затем укажите координаты точки и нажмите «Рассчитать». Если прямая задана уравнением с угловым коэффициентом вида \(y = m\cdot x + k\), перепишите его в виде \(m\cdot x - y + k = 0\): тогда \(a = m\), \(b = -1\) и \(c = k\).
Разбор формулы
Расстояние находится по формуле $$d = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ Числитель показывает, насколько координаты точки «не удовлетворяют» уравнению прямой, а деление на \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) нормирует эту величину на длину нормального вектора \((a, b)\). Модуль гарантирует положительное расстояние; если его убрать, получится знаковое значение, по которому видно, с какой стороны от прямой лежит точка.
Пример с решением
Возьмём прямую \(3x + 4y - 5 = 0\) и точку \((0, 0)\). Числитель равен \(|3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 5| = 5\). Знаменатель равен \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Значит, $$d = \frac{5}{5} = 1.$$ Начало координат отстоит ровно на одну единицу от этой прямой.
Частые вопросы
Что будет, если a и b одновременно равны нулю? Тогда выражение \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) не задаёт прямую, и расстояние не определено. Чтобы не делить на ноль, калькулятор возвращает 0.
Важен ли знак d? Основное расстояние всегда положительно. Строка со знаковым расстоянием показывает, в какой полуплоскости находится точка: с одной стороны от прямой значение положительное, с другой — отрицательное.
Можно ли использовать калькулятор, если прямая задана двумя точками? Да. Переведите две точки \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\) в коэффициенты: \(a = y_2-y_1\), \(b = x_1-x_2\), \(c = x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2\) — и введите их в калькулятор.
