Что считает этот калькулятор
Этот инструмент находит кратчайшее (перпендикулярное) расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой, заданной общим уравнением ax + by + c = 0. Кратчайшее расстояние всегда измеряется вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, и представляет собой одно положительное число в тех же единицах, что и ваши координаты. Калькулятор работает с чистой геометрией, поэтому подходит для любой системы координат и любых единиц измерения.
Как пользоваться
Сначала запишите прямую в общем виде. Если у вас уравнение с угловым коэффициентом \(y = mx + k\), преобразуйте его к виду \(mx - y + k = 0\), тогда \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\). Введите коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\), а затем координаты точки \(x_0\) и \(y_0\). Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть перпендикулярное расстояние, расстояние со знаком (которое сохраняет знак) и значение \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
Разбор формулы
У прямой \(ax + by + c = 0\) вектор \((a, b)\) задаёт направление нормали. Выражение \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\) показывает, насколько далеко точка отстоит вдоль этой нормали, но оно умножено на длину вектора нормали. Деление на \(\sqrt{a^2 + b^2}\) нормирует результат, превращая его в настоящее расстояние. Взятие модуля даёт перпендикулярное расстояние без знака:
$$d = \frac{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
Пример с решением
Прямая: \(3x + 4y - 5 = 0\), то есть \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -5\). Точка: \((0, 0)\). Числитель \(= |3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 5| = |-5| = 5\). Знаменатель \(= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Расстояние \(= 5 / 5 =\) 1.
Частые вопросы
Что означает расстояние со знаком? Положительное или отрицательное значение со знаком показывает, по какую сторону от прямой расположена точка; точки по разные стороны имеют противоположные знаки.
Что если \(a\) и \(b\) одновременно равны нулю? Тогда уравнение \(ax + by + c = 0\) не задаёт прямую, и расстояние не определено — чтобы избежать деления на ноль, калькулятор возвращает 0.
Можно ли применять это в 3D? Нет, эта формула рассчитана на точку и прямую на плоскости (в 2D). Для расстояния от точки до прямой в пространстве используется формула с векторным произведением.
