Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir (x₀, y₀) noktasının genel formda ax + by + c = 0 şeklinde yazılan bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığını bulur. En kısa uzaklık her zaman noktadan doğruya indirilen dikme boyunca ölçülür ve koordinatlarınızla aynı birimde, tek bir pozitif sayı olarak ortaya çıkar. Hesaplayıcı tamamen geometrik bir araç olduğundan, herhangi bir koordinat sistemi veya birimle çalışır.
Nasıl kullanılır?
Önce doğrunuzu genel forma getirin. Elinizde eğim-kesim formu \(y = mx + k\) varsa, bunu \(mx - y + k = 0\) şeklinde düzenleyin; böylece \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\) olur. a, b ve c katsayılarını girin, ardından noktanın koordinatları \(x_0\) ve \(y_0\) değerlerini yazın. Hesapla düğmesine bastığınızda dik uzaklığı, işaretli uzaklığı (işareti koruyan değer) ve \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) sonucunu görürsünüz.
Formülün açıklaması
\(ax + by + c = 0\) doğrusunun normal (dik) doğrultusu \((a, b)\) vektörüdür. \(a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c\) ifadesi, noktanın bu normal boyunca ne kadar uzakta olduğunu ölçer; ancak bu değer normal vektörünün uzunluğuyla ölçeklenmiştir. \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) ile bölmek bu ölçeklemeyi düzeltir ve sonucun gerçek bir uzaklık olmasını sağlar. Mutlak değer almak ise işaretsiz dik uzaklığı verir:
$$d = \frac{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
Çözümlü örnek
Doğru: \(3x + 4y - 5 = 0\), yani \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -5\). Nokta: \((0, 0)\). Pay = \(|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5| = |-5| = 5\). Payda = \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Uzaklık:
$$d = \frac{5}{5} = 1$$
Sıkça sorulan sorular
İşaretli uzaklık ne anlama gelir? Pozitif veya negatif işaretli değer, noktanın doğrunun hangi tarafında olduğunu gösterir; doğrunun zıt taraflarındaki noktaların işaretleri de zıttır.
a ve b'nin ikisi de sıfırsa ne olur? Bu durumda \(ax + by + c = 0\) geçerli bir doğru tanımlamaz ve uzaklık belirsiz hâle gelir; hesaplayıcı sıfıra bölmeyi önlemek için 0 döndürür.
Bunu 3 boyutta kullanabilir miyim? Hayır, bu formül 2 boyutlu düzlemdeki bir nokta ile bir doğru içindir. 3 boyutta bir noktanın doğruya uzaklığı için bunun yerine vektörel çarpım (cross-product) formülü kullanılır.
