この計算ツールでできること
このツールは、点 (x₀, y₀) から一般形 ax + by + c = 0 で表される直線までの「最短距離（垂線の距離）」を求めます。最短距離は必ず、点から直線へ下ろした垂線に沿って測られ、結果は座標と同じ単位をもつ1つの正の数になります。純粋な幾何学のツールなので、どんな座標系・単位でもそのまま使えます。
使い方
まず直線を一般形に直しましょう。傾き切片形 \(y = mx + k\) のときは、\(mx - y + k = 0\) に変形すれば \(a = m\)、\(b = -1\)、\(c = k\) となります。係数 a・b・c を入力し、続けて点の座標 x₀・y₀ を入力します。「計算」を押すと、垂線の距離、符号付き距離（符号を保持した値）、そして \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) の値が表示されます。
公式の解説
直線 \(ax + by + c = 0\) は、ベクトル \((a, b)\) を法線方向にもちます。式 \(a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c\) は、点がこの法線方向にどれだけ離れているかを表しますが、その値は法線ベクトルの長さの分だけ拡大・縮小されています。そこで \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) で割って正規化すると、本当の距離が得られます。さらに絶対値をとれば、符号なしの垂線の距離になります。
$$d = \frac{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
計算例
直線：\(3x + 4y - 5 = 0\) なので、\(a = 3\)、\(b = 4\)、\(c = -5\)。点：\((0, 0)\)。分子 \(= |3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5| = |-5| = 5\)。分母 \(= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)。距離 \(= 5 / 5 =\) 1。
よくある質問
符号付き距離は何を意味しますか？ 符号付きの値が正か負かによって、点が直線のどちら側にあるかがわかります。直線をはさんで反対側にある点どうしは、符号が逆になります。
a と b が両方ゼロのときは？ その場合 \(ax + by + c = 0\) は直線として成立せず、距離は定義できません。ゼロ除算を避けるため、本ツールは 0 を返します。
3次元でも使えますか？ いいえ、この公式は2次元平面における点と直線のためのものです。3次元での点と直線の距離は、外積を使った別の公式で求めます。
