この計算ツールでできること
このツールは、ある点を直線に関して対称移動させたときの鏡像（対称点）を求めます。任意の点 \((x, y)\) と、一般形 \(ax + by + c = 0\) で表される直線を入力すると、対称点 \((x', y')\) を返します。対称点とは、直線をはさんで反対側にあり、直線までの垂直距離が元の点と等しい点のことです。
使い方
まず点の座標を入力し、次に直線の3つの係数 \(a\)、\(b\)、\(c\) を入力します。直線が \(y = mx + k\) のような傾きの形で与えられている場合は、\(mx - y + k = 0\) と書き換えて、\(a = m\)、\(b = -1\)、\(c = k\) としてください。垂直な直線 \(x = 5\) は、\(1 \cdot x + 0 \cdot y - 5 = 0\) となります。
公式の解説
符号付きの値 \(d = \dfrac{ax + by + c}{a^2 + b^2}\) は、その点が直線からどれだけ離れているかを、直線の係数でスケーリングして表したものです。法線ベクトル \((a, b)\) に沿って、この距離の2倍だけ戻ると、ちょうど鏡像の位置に到達します。
すなわち $$(x', y') = (x - 2a\,d,\; y - 2b\,d)$$ です。点がすでに直線上にある場合は \(ax + by + c = 0\) となるため、点はそれ自身に移ります（動きません）。
計算例
点 \((3, 4)\) を直線 \(x - y = 0\)（\(a = 1\)、\(b = -1\)、\(c = 0\)）に関して対称移動させてみましょう。ここで \(a^2 + b^2 = 2\)、\(ax + by + c = 3 - 4 = -1\) なので、\(d = -\tfrac{1}{2}\) となります。すると $$x' = 3 - 2(1)(-0.5) = 4$$ $$y' = 4 - 2(-1)(-0.5) = 3$$ です。つまり点\((3, 4)\)を直線 \(y = x\) に関して対称移動させると\((4, 3)\)となり、x座標とy座標が入れ替わるという予想どおりの結果になります。
よくある質問
a、b、c はゼロでもよいですか？ はい、構いません。無効なのは \(a = b = 0\) の場合だけです。このとき直線が定まらないため、本ツールはゼロ除算が起きないように防止しています。
直線は原点を通る必要がありますか？ いいえ。定数 \(c\) が直線を平行移動させる役割を持ち、公式はどの位置の直線にも対応します。
直線が \(y = mx + k\) の形のときは？ \(m \cdot x - 1 \cdot y + k = 0\) に変換してください。すると \(a = m\)、\(b = -1\)、\(c = k\) となります。
