這個計算器能做什麼
這個工具可以求出某一點對一條直線的鏡射（對稱點）。只要輸入任意點 (x, y)，再輸入以一般式 \(ax + by + c = 0\) 表示的直線，它就會回傳鏡射後的點 (x', y') —— 也就是位於直線另一側、與直線距離相等的對稱點。
使用方法
先輸入點的座標，接著輸入直線的三個係數 a、b 與 c。如果你的直線是斜截式 y = mx + k，請改寫成 mx − y + k = 0，這樣 a = m、b = −1、c = k。至於鉛直線 x = 5，則可寫成 1·x + 0·y − 5 = 0。
公式說明
帶正負號的量 \(d = \dfrac{ax + by + c}{a^{2} + b^{2}}\) 代表這個點偏離直線的程度，並以直線係數加以縮放。沿著法向量 (a, b) 反方向退兩倍這段距離，就會剛好落在對稱點上：
\(x' = x - 2a\cdot d\)、\(y' = y - 2b\cdot d\)。若該點本來就在直線上，則 \(ax + by + c = 0\)，鏡射後仍會對應到自己。
實際範例
將 (3, 4) 對直線 \(x - y = 0\)（a = 1、b = −1、c = 0）做鏡射。此時 \(a^{2} + b^{2} = 2\)，且 \(ax + by + c = 3 - 4 = -1\)，所以 \(d = -\tfrac{1}{2}\)。接著 \(x' = 3 - 2(1)(-0.5) = 4\)、\(y' = 4 - 2(-1)(-0.5) = 3\)。因此 (3, 4) 對 \(y = x\) 的鏡射為 (4, 3) —— 正如預期，座標剛好對調。
常見問題
a、b、c 可以是 0 嗎？可以。唯一不合法的情況是 a = b = 0，因為這樣根本沒有直線；計算器會自動防止除以零的狀況。
直線一定要通過原點嗎？不必。常數 c 會平移直線，而這個公式適用於任何位置的直線。
如果我的直線是 y = mx + k 怎麼辦？把它改寫成 m·x − 1·y + k = 0，即 a = m、b = −1、c = k。
