Ce que fait ce calculateur
Cet outil détermine l'image (le symétrique) d'un point par rapport à une droite. Indiquez un point quelconque (x, y) et une droite écrite sous la forme générale ax + by + c = 0 : il vous renvoie le point réfléchi (x', y'), situé de l'autre côté de la droite, à la même distance perpendiculaire.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées de votre point, puis entrez les trois coefficients a, b et c de votre droite. Si votre droite est donnée sous forme réduite, comme y = mx + k, réécrivez-la en mx − y + k = 0 : on a alors a = m, b = −1, c = k. Une droite verticale telle que x = 5 s'écrit 1·x + 0·y − 5 = 0.
La formule expliquée
La quantité signée \(d = \dfrac{ax + by + c}{a^{2} + b^{2}}\) mesure l'écart du point par rapport à la droite, pondéré par les coefficients de celle-ci. En reculant deux fois cette distance le long du vecteur normal \((a, b)\), on tombe exactement sur l'image symétrique :
$$(x', y') = \left(x - 2a\,d,\; y - 2b\,d\right)$$ Si le point appartient déjà à la droite, alors \(ax + by + c = 0\) : il est sa propre image.
Exemple détaillé
Cherchons le symétrique de (3, 4) par rapport à la droite x − y = 0 (a = 1, b = −1, c = 0). Ici, \(a^{2} + b^{2} = 2\) et \(ax + by + c = 3 - 4 = -1\), donc \(d = -\tfrac{1}{2}\). On obtient alors \(x' = 3 - 2(1)(-0{,}5) = 4\) et \(y' = 4 - 2(-1)(-0{,}5) = 3\). Le symétrique de (3, 4) par rapport à y = x est donc (4, 3) — exactement l'échange auquel on s'attend.
FAQ
a, b ou c peuvent-ils être nuls ? Oui. Seul le cas a = b = 0 est invalide, car il ne définit aucune droite ; le calculateur empêche alors toute division par zéro.
La droite doit-elle passer par l'origine ? Non. La constante c décale la droite, et la formule fonctionne quelle que soit sa position.
Et si ma droite est de la forme y = mx + k ? Convertissez-la en m·x − 1·y + k = 0, ce qui donne a = m, b = −1, c = k.
