À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine la distance la plus courte (la distance perpendiculaire) entre un point (x₀, y₀) et une droite écrite sous sa forme générale Ax + By + C = 0 dans le plan à deux dimensions. Il s'agit d'un calculateur de géométrie pure : il fonctionne partout, sans hypothèse liée à un pays ou à une unité particulière — le résultat s'exprime dans l'unité de vos coordonnées, quelle qu'elle soit.
Comment l'utiliser
Écrivez votre droite sous la forme Ax + By + C = 0. Par exemple, la droite \(y = 2x + 1\) devient \(2x - y + 1 = 0\), d'où \(A = 2\), \(B = -1\) et \(C = 1\). Saisissez A, B et C, puis indiquez les coordonnées de votre point. Le calculateur renvoie la distance perpendiculaire, la distance signée et le facteur de normalisation \(\sqrt{A^2 + B^2}\).
La formule expliquée
La distance est donnée par $$d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Le numérateur mesure l'écart entre le point et l'équation de la droite, tandis que la division par la norme du vecteur normal \((A, B)\) transforme cette valeur en une véritable distance géométrique. En supprimant la valeur absolue, on obtient la distance signée : $$d_s = \dfrac{A x_0 + B y_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ un signe positif indique que le point se situe d'un côté de la droite, un signe négatif de l'autre côté.
Exemple résolu
Prenons la droite \(3x + 4y - 5 = 0\) et le point \((2, 3)\). Le numérateur vaut $$|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13$$ Le dénominateur est $$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$ On obtient donc $$d = \frac{13}{5} = 2{,}6 \text{ unités}$$
FAQ
Comment passer de \(y = mx + b\) à Ax + By + C = 0 ? Il suffit de réarranger l'équation en \(mx - y + b = 0\), ce qui donne \(A = m\), \(B = -1\) et \(C = b\).
Que se passe-t-il si A et B sont tous les deux nuls ? Dans ce cas, Ax + By + C = 0 ne définit pas une droite valide et la distance n'est pas définie ; le calculateur renvoie 0 pour éviter une division par zéro.
À quoi sert la distance signée ? Son signe indique de quel côté de la droite se trouve le point, ce qui est utile pour les tests de demi-plan et les vérifications d'orientation.
