ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أقصر مسافة (المسافة العمودية) من نقطة (x₀, y₀) إلى مستقيم مكتوب بالصيغة العامة \(Ax + By + C = 0\) في المستوى ثنائي الأبعاد. إنها حاسبة هندسية بحتة، لذا فهي تُطبَّق في كل مكان دون أي افتراضات مرتبطة ببلد معيّن أو وحدة قياس بعينها — وتأتي النتيجة بنفس الوحدات التي تستخدمها لإحداثياتك.
طريقة الاستخدام
اكتب معادلة المستقيم بالصيغة \(Ax + By + C = 0\). على سبيل المثال، المستقيم \(y = 2x + 1\) يتحول إلى \(2x - y + 1 = 0\)، فيكون \(A = 2\) و\(B = -1\) و\(C = 1\). أدخل قيم \(A\) و\(B\) و\(C\)، ثم أدخل إحداثيات النقطة. تُرجع الحاسبة المسافة العمودية، والمسافة ذات الإشارة، ومعامل التطبيع \(\sqrt{A^2 + B^2}\).
شرح الصيغة
تُعطى المسافة بالعلاقة $$d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ يقيس البسط مدى بُعد النقطة عن تحقيق معادلة المستقيم، وقسمة هذه القيمة على طول المتجه الناظم \((A, B)\) يحوّلها إلى مسافة هندسية حقيقية. وإذا أزلنا القيمة المطلقة نحصل على المسافة ذات الإشارة: فالإشارة الموجبة تعني أن النقطة تقع على أحد جانبي المستقيم، والسالبة على الجانب الآخر.
مثال محلول
لنأخذ المستقيم \(3x + 4y - 5 = 0\) والنقطة \((2, 3)\). يكون البسط $$|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13.$$ والمقام $$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$ ومن ثَمّ فإن $$d = \frac{13}{5} = 2.6 \text{ وحدة}.$$
الأسئلة الشائعة
كيف أحوّل المعادلة \(y = mx + b\) إلى الصيغة \(Ax + By + C = 0\)؟ أعد ترتيبها لتصبح \(mx - y + b = 0\)، فيكون \(A = m\) و\(B = -1\) و\(C = b\).
ماذا لو كانت قيمة كل من \(A\) و\(B\) صفرًا؟ عندها لا تمثّل المعادلة \(Ax + By + C = 0\) مستقيمًا صحيحًا وتكون المسافة غير معرّفة؛ لذا تُرجع الحاسبة القيمة 0 لتجنّب القسمة على صفر.
ماذا تخبرني المسافة ذات الإشارة؟ تدل إشارتها على الجانب الذي تقع فيه النقطة بالنسبة للمستقيم، وهو أمر مفيد في اختبارات نصف المستوى وفحص الاتجاه.
