ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أقصر مسافة (المسافة العمودية) في الفضاء ثلاثي الأبعاد بين نقطة واحدة ومستوٍ مستوٍ. تُعطى النقطة بإحداثياتها \((x_0, y_0, z_0)\)، ويُوصَف المستوى بالمعادلة الخطية العامة \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\)، حيث يمثّل \((a, b, c)\) المتجه العمودي (الناظمي) على المستوى. والنتيجة عدد غير سالب يُعبَّر عنه بالوحدة نفسها المستخدمة في إحداثياتك.
طريقة الاستخدام
أدخل الإحداثيات الثلاثة للنقطة، ثم أدخل الثوابت الأربعة لمعادلة المستوى: المعاملات \(a\) و\(b\) و\(c\) (مركّبات المتجه الناظمي) والحد الثابت \(d\). اضغط على زر الحساب، فتُرجِع الأداة المسافة \(L\) مع البسط والمقام حتى تتمكن من التحقق من كل خطوة على حدة. جميع المُدخلات أعداد حقيقية عادية، ويمكن أن تكون سالبة أو عشرية.
شرح الصيغة
القيمة الإشارية لمعادلة المستوى عند تعويض النقطة فيها، أي \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\)، تقيس مدى ابتعاد النقطة عن المستوى مضروبًا في طول المتجه الناظمي. وبقسمة هذه القيمة على مقدار (طول) المتجه الناظمي، \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)، نُحوّل القياس إلى وحدات مسافة حقيقية، وتضمن القيمة المطلقة أن تكون النتيجة غير سالبة. وإذا كانت المسافة تساوي صفرًا تمامًا، فهذا يعني أن النقطة واقعة على المستوى نفسه.
$$D = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
مثال محلول
لنأخذ النقطة \((1, 2, 3)\) والمستوى \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\). يكون البسط هو $$\left| 2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5 \right| = \left| 24 \right| = 24.$$ والمقام هو $$\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5.3851648.$$ وبذلك تكون $$L = 24 / 5.3851648 \approx 4.4565820.$$
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون المسافة سالبة؟ لا. القيمة المطلقة في البسط تجعل النتيجة دائمًا صفرًا أو قيمة موجبة.
ماذا لو كانت a وb وc كلها أصفارًا؟ عندها لا يوجد مستوٍ صالح؛ لأن طول المتجه الناظمي يساوي صفرًا، فتكون المسافة غير معرَّفة. وتتجنّب الحاسبة القسمة على صفر تلقائيًا.
هل يلزم تطبيع معادلة المستوى أولًا؟ لا. القسمة على مقدار المتجه الناظمي تتكفّل بالتطبيع تلقائيًا، لذا فإن أي مضاعف عددي للمستوى نفسه يعطي المسافة ذاتها.
