この計算機でできること
このツールは、3次元空間における1つの点と1枚の平面との最短距離（垂線の長さ）を計算します。点は座標 \((x_0, y_0, z_0)\) で与え、平面は一般形の方程式 \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\) で表します。ここで \((a, b, c)\) は平面の法線ベクトルです。計算結果は、入力した座標と同じ単位で表される 0 以上の値になります。
使い方
まず点の3つの座標を入力し、続いて平面方程式の4つの定数、すなわち係数 \(a, b, c\)（法線ベクトルの成分）と定数項 \(d\) を入力します。「計算」を押すと、距離 \(L\) とともに分子・分母も表示されるため、各ステップを確認できます。すべての入力は通常の実数で、負の数や小数も使用できます。
公式の解説
点の座標を平面方程式に代入した値 \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) は、その点が平面からどれだけ離れているかを、法線ベクトルの長さでスケーリングした形で表します。これを法線ベクトルの大きさ \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) で割ることで、本来の距離の単位に正規化します。さらに絶対値をとることで、結果が必ず 0 以上になります。距離がちょうど 0 のときは、その点が平面上にあることを意味します。
$$D = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
計算例
点 \((1, 2, 3)\) と平面 \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\) を考えます。分子は \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\) です。分母は \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5.3851648\) となります。したがって \(L = 24 / 5.3851648 \approx 4.4565820\) です。
よくある質問
距離が負になることはありますか？ ありません。分子で絶対値をとるため、結果は常に 0 以上になります。
a, b, c がすべて 0 のときはどうなりますか？ その場合は法線ベクトルの長さが 0 になり、有効な平面が存在しないため距離は定義できません。本計算機は 0 除算を起こさないように設計されています。
平面方程式を先に正規化する必要はありますか？ いいえ。法線ベクトルの大きさで割る過程で自動的に正規化されるため、同じ平面を定数倍した方程式でも同じ距離が得られます。
