Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la distancia más corta (perpendicular) en el espacio tridimensional entre un punto y un plano. El punto se define mediante sus coordenadas (x0, y0, z0), y el plano se describe con la ecuación lineal general \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\), donde (a, b, c) es el vector normal del plano. El resultado es un número no negativo expresado en las mismas unidades que tus coordenadas.
Cómo usarla
Introduce las tres coordenadas de tu punto y, a continuación, las cuatro constantes de la ecuación del plano: los coeficientes a, b y c (las componentes del vector normal) y el término independiente d. Pulsa calcular. La herramienta devuelve la distancia L junto con el numerador y el denominador para que puedas verificar cada paso. Todos los datos son números reales y pueden ser negativos o decimales.
La fórmula explicada
El valor con signo de la ecuación del plano evaluada en el punto, \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\), mide cuánto se aleja el punto del plano, escalado por la longitud del vector normal. Al dividir por la magnitud de ese vector normal, \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), la medida se normaliza en unidades reales de distancia, y el valor absoluto garantiza un resultado no negativo. Una distancia de exactamente 0 significa que el punto está sobre el plano.
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2 + \text{c}^2}}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos el punto (1, 2, 3) y el plano \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\). El numerador es \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\). El denominador es \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}3851648\). Por tanto, $$L = \frac{24}{5{,}3851648} \approx 4{,}4565820.$$
Preguntas frecuentes
¿La distancia puede ser negativa? No. El valor absoluto del numerador hace que el resultado sea siempre cero o positivo.
¿Qué ocurre si a, b y c son todos cero? Entonces no hay un plano válido, porque el vector normal tiene longitud cero y la distancia queda indefinida. La calculadora evita la división por cero.
¿Tengo que normalizar primero la ecuación del plano? No. La división por la magnitud del vector normal se encarga de la normalización automáticamente, así que cualquier múltiplo escalar del mismo plano da la misma distancia.
