यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल त्रिविमीय (3D) स्पेस में किसी एक बिंदु और एक सपाट समतल के बीच की सबसे छोटी, यानी लंबवत दूरी निकालता है। बिंदु को उसके निर्देशांक \((x_0, y_0, z_0)\) से दर्शाया जाता है, और समतल को सामान्य रैखिक समीकरण \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\) से, जहाँ \((a, b, c)\) समतल का अभिलंब सदिश (normal vector) है। परिणाम हमेशा एक अऋणात्मक संख्या होती है, जो आपके निर्देशांकों की उन्हीं इकाइयों में आती है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले अपने बिंदु के तीनों निर्देशांक दर्ज करें, फिर समतल समीकरण के चार स्थिरांक भरें: गुणांक \(a\), \(b\), \(c\) (अभिलंब सदिश के घटक) और स्थिर पद \(d\)। इसके बाद "गणना करें" दबाएँ। टूल आपको दूरी \(L\) के साथ-साथ अंश (numerator) और हर (denominator) भी दिखाता है, ताकि आप हर चरण को खुद जाँच सकें। सभी इनपुट साधारण वास्तविक संख्याएँ हैं और ऋणात्मक या दशमलव हो सकती हैं।
सूत्र की व्याख्या
बिंदु पर समतल समीकरण का चिह्नित (signed) मान, यानी \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\), यह बताता है कि बिंदु समतल से कितना दूर है — पर यह अभिलंब सदिश की लंबाई के अनुपात में मापा जाता है। जब हम इसे उस अभिलंब सदिश के परिमाण \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) से भाग देते हैं, तो माप वास्तविक दूरी की इकाइयों में बदल जाता है, और निरपेक्ष मान (absolute value) लगाने से उत्तर हमेशा अऋणात्मक रहता है।
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2 + \text{c}^2}}$$यदि दूरी ठीक 0 निकले, तो इसका मतलब है कि बिंदु समतल पर ही स्थित है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए बिंदु \((1, 2, 3)\) है और समतल \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\) है। अंश होगा $$\left| 2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5 \right| = \left| 24 \right| = 24$$ हर होगा $$\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5.3851648$$ इसलिए $$L = 24 / 5.3851648 \approx 4.4565820$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या दूरी ऋणात्मक हो सकती है? नहीं। अंश में निरपेक्ष मान लगा होने के कारण परिणाम हमेशा शून्य या धनात्मक ही रहता है।
अगर \(a\), \(b\) और \(c\) तीनों शून्य हों तो क्या होगा? तब कोई वैध समतल नहीं बनता, क्योंकि अभिलंब सदिश की लंबाई शून्य हो जाती है और दूरी अपरिभाषित रहती है। कैलकुलेटर शून्य से भाग देने से बचाव करता है।
क्या मुझे पहले समतल समीकरण को सामान्यीकृत (normalize) करना होगा? नहीं। अभिलंब सदिश के परिमाण से भाग देने पर सामान्यीकरण अपने आप हो जाता है, इसलिए उसी समतल का कोई भी अदिश गुणज (scalar multiple) समान दूरी देगा।
