이 계산기의 기능
이 도구는 3차원 공간에서 하나의 점과 평면 사이의 최단 거리, 즉 수직 거리를 계산합니다. 점은 좌표 \((x_0, y_0, z_0)\)로 주어지고, 평면은 일반형 일차방정식 \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\)으로 표현됩니다. 여기서 \((a, b, c)\)는 평면의 법선벡터입니다. 결과는 입력한 좌표와 동일한 단위로 표시되는 0 이상의 값입니다.
사용 방법
먼저 점의 세 좌표를 입력한 뒤, 평면 방정식의 네 가지 상수를 입력하세요. 즉 법선벡터의 성분에 해당하는 계수 \(a\), \(b\), \(c\)와 상수항 \(d\)입니다. 계산 버튼을 누르면 거리 \(L\)과 함께 분자, 분모 값이 표시되어 각 단계를 직접 확인할 수 있습니다. 모든 입력값은 실수이며 음수나 소수도 사용할 수 있습니다.
공식 풀이
점에서 평면 방정식 좌변을 계산한 값 \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\)는 점이 평면에서 얼마나 떨어져 있는지를 법선벡터의 길이만큼 배율 조정해 나타냅니다. 이를 법선벡터의 크기 \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)로 나누면 실제 거리 단위로 정규화되고, 절댓값을 취해 항상 0 이상의 값이 보장됩니다. 거리가 정확히 0이라면 그 점은 평면 위에 있다는 뜻입니다.
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2 + \text{c}^2}}$$
계산 예시
점 \((1, 2, 3)\)과 평면 \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\)을 살펴봅시다. 분자는 \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\)입니다. 분모는 \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5.3851648\)입니다. 따라서 다음과 같이 됩니다.
$$L = \frac{24}{5.3851648} \approx 4.4565820$$자주 묻는 질문
거리가 음수가 될 수 있나요? 아니요. 분자에 절댓값을 취하기 때문에 결과는 항상 0 또는 양수입니다.
\(a\), \(b\), \(c\)가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 법선벡터의 길이가 0이 되어 유효한 평면이 존재하지 않으므로 거리는 정의되지 않습니다. 계산기는 0으로 나누는 상황을 방지하도록 설계되어 있습니다.
평면 방정식을 먼저 정규화해야 하나요? 아니요. 법선벡터의 크기로 나누는 과정에서 정규화가 자동으로 처리됩니다. 따라서 같은 평면을 스칼라 배한 방정식이라도 동일한 거리가 나옵니다.
