점과 직선 사이의 거리란?
점과 직선 사이의 수직 거리는 점에서 직선까지 이어지는 가장 짧은 선분의 길이로, 직선에 수직인 방향으로 측정한 값입니다. 일반형 \(ax + by + c = 0\)으로 표현된 직선과 점 \((x_0, y_0)\)가 주어지면, 이 계산기가 그 최단 거리를 즉시 계산해 줍니다. 좌표기하학은 물론 컴퓨터 그래픽, 로봇 경로 계획, 물리학 등 여러 분야에서 두루 쓰이는 기본 도구입니다.
계산기 사용법
먼저 직선의 일반형 계수 a, b, c를 입력하세요. 만약 직선이 \(y = mx + k\) 꼴로 주어졌다면 \(mx - y + k = 0\) 형태로 바꿔 \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\)로 입력하면 됩니다. 그다음 점의 좌표 \(x_0\)와 \(y_0\)를 입력합니다. 결과로는 수직 거리의 절댓값과 함께 부호가 있는 거리(signed distance)가 표시되며, 이 부호를 통해 점이 직선의 어느 쪽(양수 또는 음수)에 있는지 알 수 있습니다.
공식 풀이
$$d = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ 공식은 점의 좌표를 직선 방정식에 대입하는 방식으로 작동합니다. 만약 점이 직선 위에 있다면 \(ax_0 + by_0 + c\)는 0이 됩니다. 점이 직선에서 멀어질수록 이 값은 커집니다. 이를 법선 벡터 \((a, b)\)의 크기인 \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)로 나누면 결과가 실제 거리 단위로 정규화됩니다.
예제로 보는 계산
직선 \(3x + 4y - 5 = 0\)과 점 \((1, 2)\)의 경우를 살펴보겠습니다. 분자 $$= |3\cdot 1 + 4\cdot 2 - 5| = |3 + 8 - 5| = 6,$$ 분모 $$= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ 따라서 $$d = \frac{6}{5} = \textbf{1.2 단위}$$입니다.
자주 묻는 질문
a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 유효한 직선이 존재하지 않아 거리는 정의되지 않습니다. 0으로 나누는 오류를 막기 위해 계산기는 0을 반환합니다.
부호가 있는 거리는 무엇을 의미하나요? 부호는 점이 직선의 어느 쪽에 있는지를 나타냅니다. 방향 판별이나 반평면(half-plane) 판정에 유용합니다.
수평선이나 수직선에도 사용할 수 있나요? 네, 가능합니다. 수직선 \(x = k\)는 \(x - 0\cdot y - k = 0\) (\(a=1, b=0, c=-k\))으로, 수평선 \(y = k\)는 \(0\cdot x + y - k = 0\)으로 나타낼 수 있습니다.
