이 계산기의 기능
이 도구는 직선을 기준으로 어떤 점의 거울상(대칭점)을 찾아 줍니다. 임의의 점 (x, y)와 일반형 \(ax + by + c = 0\)으로 표현된 직선을 입력하면, 반사된 점 (x', y')를 돌려줍니다. 이 점은 직선을 사이에 두고 반대편에 있으며, 직선까지의 수직 거리가 원래 점과 똑같습니다.
사용 방법
먼저 점의 좌표를 입력한 다음, 직선의 세 계수 a, b, c를 입력하세요. 만약 직선이 y = mx + k처럼 기울기 형태로 되어 있다면, mx − y + k = 0으로 바꿔서 a = m, b = −1, c = k가 되도록 하면 됩니다. 수직선 x = 5는 1·x + 0·y − 5 = 0으로 표현됩니다.
공식 설명
부호가 있는 값 d = (ax + by + c) / (a² + b²)는 점이 직선에서 얼마나 떨어져 있는지를 직선의 계수에 맞춰 정규화한 값입니다. 법선 벡터 (a, b) 방향으로 이 거리의 두 배만큼 되돌아가면 정확히 거울상에 도달하게 됩니다.
즉 다음과 같습니다.
$$(x', y') = \left(x - 2a\,d,\; y - 2b\,d\right)$$여기서
$$d = \frac{a\,x + b\,y + c}{a^{2} + b^{2}}$$만약 점이 이미 직선 위에 있다면 \(ax + by + c = 0\)이 되므로, 그 점은 자기 자신으로 대응됩니다.
계산 예시
(3, 4)를 직선 \(x - y = 0\)(a = 1, b = −1, c = 0)에 대해 반사시켜 보겠습니다. 이때 \(a^{2} + b^{2} = 2\)이고 \(ax + by + c = 3 - 4 = -1\)이므로 \(d = -\tfrac{1}{2}\)입니다. 따라서 $$x' = 3 - 2(1)(-0.5) = 4$$ $$y' = 4 - 2(-1)(-0.5) = 3$$이 됩니다. 즉 직선 \(y = x\)에 대한 (3, 4)의 대칭점은 (4, 3)으로, 예상대로 x좌표와 y좌표가 서로 뒤바뀐 결과가 나옵니다.
자주 묻는 질문
a, b, c가 0이 될 수 있나요? 네, 가능합니다. 단 a = b = 0인 경우만 사용할 수 없는데, 그러면 직선 자체가 정의되지 않기 때문입니다. 계산기는 이런 경우 0으로 나누는 오류를 자동으로 방지합니다.
직선이 반드시 원점을 지나야 하나요? 아니요. 상수 c가 직선을 평행이동시키며, 공식은 직선이 어느 위치에 있든 모두 처리합니다.
직선이 y = mx + k 형태라면 어떻게 하나요? m·x − 1·y + k = 0으로 바꾸면 a = m, b = −1, c = k가 됩니다.
