이 계산기의 기능
이 도구는 2차원 평면에서 점 \((x_0, y_0)\)과, 일반형 \(Ax + By + C = 0\)으로 표현된 직선 사이의 최단 거리(수직 거리)를 구합니다. 순수하게 기하학에 기반한 계산기이므로 국가나 단위에 따른 별도의 가정이 없으며, 어디서든 동일하게 적용됩니다. 결과 값은 입력한 좌표가 사용하는 단위 그대로 표시됩니다.
사용 방법
먼저 직선을 \(Ax + By + C = 0\) 형태로 정리하세요. 예를 들어 \(y = 2x + 1\)이라는 직선은 \(2x - y + 1 = 0\)으로 바꿀 수 있고, 이때 \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = 1\)이 됩니다. \(A\), \(B\), \(C\) 값을 입력한 다음 점의 좌표를 입력하면, 계산기가 수직 거리와 부호가 있는 거리, 그리고 정규화 계수 \(\sqrt{A^2 + B^2}\)를 함께 알려 줍니다.
공식 설명
거리는 다음과 같이 구합니다.
$$d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$분자는 그 점이 직선의 방정식을 얼마나 만족하지 못하는지를 나타내며, 이를 법선 벡터 \((A, B)\)의 길이로 나누면 실제 기하학적 거리로 환산됩니다. 절댓값을 떼면 부호가 있는 거리가 됩니다.
$$d_s = \dfrac{A x_0 + B y_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$부호가 양수이면 점이 직선의 한쪽에, 음수이면 반대쪽에 있다는 뜻입니다.
예제로 풀어 보기
직선 \(3x + 4y - 5 = 0\)과 점 \((2, 3)\)을 생각해 봅시다. 분자는 \(|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13\)이고, 분모는 \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)입니다. 따라서 다음과 같습니다.
$$d = \frac{13}{5} = 2.6 \text{ 단위}$$자주 묻는 질문
\(y = mx + b\)를 \(Ax + By + C = 0\) 형태로 어떻게 바꾸나요? \(mx - y + b = 0\)으로 정리하면 \(A = m\), \(B = -1\), \(C = b\)가 됩니다.
\(A\)와 \(B\)가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(Ax + By + C = 0\)은 유효한 직선이 아니므로 거리를 정의할 수 없습니다. 계산기는 0으로 나누는 오류를 피하기 위해 0을 반환합니다.
부호가 있는 거리는 무엇을 알려 주나요? 부호는 점이 직선의 어느 쪽에 있는지를 나타내며, 반평면 판정이나 방향 확인에 유용하게 쓰입니다.
