Công cụ này dùng để làm gì?
Công cụ giúp bạn tìm khoảng cách ngắn nhất (tức khoảng cách vuông góc) từ một điểm (x₀, y₀) đến đường thẳng viết dưới dạng tổng quát \(Ax + By + C = 0\) trong mặt phẳng hai chiều. Đây là một bài toán hình học thuần túy, nên công thức áp dụng được ở mọi nơi mà không phụ thuộc vào quốc gia hay đơn vị đo cụ thể — kết quả sẽ tính theo đúng đơn vị mà bạn dùng cho tọa độ.
Cách sử dụng
Trước hết, hãy đưa đường thẳng về dạng \(Ax + By + C = 0\). Ví dụ, đường thẳng \(y = 2x + 1\) sẽ trở thành \(2x - y + 1 = 0\), tức là \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = 1\). Bạn nhập lần lượt A, B, C rồi nhập tọa độ của điểm cần xét. Công cụ sẽ trả về khoảng cách vuông góc, khoảng cách có dấu và hệ số chuẩn hóa \(\sqrt{A^2 + B^2}\).
Giải thích công thức
Khoảng cách được tính theo công thức $$d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Tử số cho biết điểm đã "lệch" bao nhiêu so với phương trình đường thẳng, còn việc chia cho độ dài vectơ pháp tuyến \((A, B)\) sẽ đổi giá trị đó thành khoảng cách hình học thực sự. Nếu bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta được khoảng cách có dấu: dấu dương nghĩa là điểm nằm về một phía của đường thẳng, dấu âm nghĩa là điểm nằm về phía còn lại.
Ví dụ minh họa
Xét đường thẳng \(3x + 4y - 5 = 0\) và điểm \((2, 3)\). Tử số là \(|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13\). Mẫu số là \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Vậy $$d = \frac{13}{5} = 2{,}6 \text{ đơn vị.}$$
Câu hỏi thường gặp
Làm sao đổi \(y = mx + b\) sang dạng \(Ax + By + C = 0\)? Bạn chuyển vế thành \(mx - y + b = 0\), từ đó \(A = m\), \(B = -1\), \(C = b\).
Nếu A và B đều bằng 0 thì sao? Khi đó \(Ax + By + C = 0\) không còn là một đường thẳng hợp lệ và khoảng cách không xác định; để tránh chia cho 0, công cụ sẽ trả về kết quả 0.
Khoảng cách có dấu cho biết điều gì? Dấu của nó cho biết điểm nằm về phía nào của đường thẳng, rất hữu ích khi kiểm tra nửa mặt phẳng hoặc xác định hướng.
