Công cụ này dùng để làm gì
Công cụ này tính khoảng cách ngắn nhất (theo phương vuông góc) trong không gian ba chiều giữa một điểm và một mặt phẳng. Điểm được xác định bằng tọa độ (x0, y0, z0), còn mặt phẳng được mô tả bởi phương trình tổng quát \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\), trong đó (a, b, c) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Kết quả là một số không âm, có cùng đơn vị với tọa độ bạn nhập vào.
Cách sử dụng
Nhập ba tọa độ của điểm, sau đó nhập bốn hằng số của phương trình mặt phẳng: các hệ số a, b, c (các thành phần của vectơ pháp tuyến) và số hạng tự do d. Nhấn nút tính. Công cụ sẽ trả về khoảng cách L cùng với tử số và mẫu số để bạn có thể kiểm tra lại từng bước. Tất cả các giá trị nhập vào đều là số thực, có thể âm hoặc là số thập phân.
Giải thích công thức
Giá trị có dấu của phương trình mặt phẳng khi thay tọa độ điểm vào, tức \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\), cho biết điểm nằm cách mặt phẳng bao xa, nhưng đã được nhân theo độ dài của vectơ pháp tuyến. Khi chia cho độ lớn của vectơ pháp tuyến, \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), phép tính được chuẩn hóa về đúng đơn vị khoảng cách thực, và việc lấy trị tuyệt đối đảm bảo kết quả luôn không âm.
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2 + \text{c}^2}}$$
Khoảng cách bằng đúng 0 có nghĩa là điểm nằm ngay trên mặt phẳng.
Ví dụ minh họa
Xét điểm (1, 2, 3) và mặt phẳng \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\). Tử số là $$\left| 2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5 \right| = |24| = 24.$$ Mẫu số là $$\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}3851648.$$ Vậy $$L = \frac{24}{5{,}3851648} \approx 4{,}4565820.$$
Câu hỏi thường gặp
Khoảng cách có thể là số âm không? Không. Trị tuyệt đối ở tử số khiến kết quả luôn bằng 0 hoặc dương.
Nếu a, b và c đều bằng 0 thì sao? Khi đó không tồn tại mặt phẳng hợp lệ vì vectơ pháp tuyến có độ dài bằng 0, và khoảng cách không xác định. Công cụ đã có cơ chế ngăn việc chia cho 0.
Tôi có cần chuẩn hóa phương trình mặt phẳng trước không? Không. Việc chia cho độ lớn của vectơ pháp tuyến đã tự động xử lý phần chuẩn hóa, nên mọi bội số vô hướng của cùng một mặt phẳng đều cho ra khoảng cách như nhau.
