这个计算器能做什么
本工具用于计算三维空间中一个点到一个平面之间的最短距离，也就是点到平面的垂直距离。点由坐标 \((x_0, y_0, z_0)\) 给出，平面则用一般式线性方程 \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\) 来描述，其中 \((a, b, c)\) 就是该平面的法向量。计算结果是一个非负数，单位与你输入坐标所用的单位一致。
使用方法
先填入点的三个坐标，再输入平面方程的四个常数：系数 \(a\)、\(b\)、\(c\)（即法向量的三个分量）以及常数项 \(d\)。点击「计算」后，工具会返回距离 \(L\)，并同时给出分子和分母的数值，方便你逐步核对每一步运算。所有输入项都是普通实数，可以是负数，也可以是小数。
公式解析
把点的坐标代入平面方程得到的带符号值 \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\)，反映了该点偏离平面的程度，但这个数值被法向量的长度放大了。再除以法向量的模 \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)，就把测量结果归一化为真正的距离单位；取绝对值则保证答案永远非负。如果距离恰好等于 0，说明这个点正好落在平面上。
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2 + \text{c}^2}}$$
实例演算
设点为 \((1, 2, 3)\)，平面为 \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\)。分子为 \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\)；分母为 \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5.3851648\)。因此
$$L = \frac{24}{5.3851648} \approx 4.4565820$$常见问题
距离会出现负数吗？不会。分子中的绝对值使结果始终为零或正数。
如果 \(a\)、\(b\)、\(c\) 全部为 0 会怎样？那就不存在有效的平面了，因为法向量长度为零，距离也就无法定义。计算器会自动防止除以零的情况。
需要先把平面方程归一化吗？不需要。除以法向量的模这一步已经自动完成了归一化，所以无论你把同一个平面方程乘以任何非零倍数，得到的距离都完全相同。
