Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, üç boyutlu uzayda bir nokta ile düz bir düzlem arasındaki en kısa (dik) uzaklığı hesaplar. Nokta, koordinatlarıyla \((x_0, y_0, z_0)\) verilir; düzlem ise \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\) şeklindeki genel doğrusal denklemle tanımlanır. Burada \((a, b, c)\) düzlemin normal vektörüdür. Sonuç, koordinatlarınızla aynı birimde ifade edilen ve sıfır ya da pozitif olan bir değerdir.
Nasıl kullanılır?
Önce noktanızın üç koordinatını girin, ardından düzlem denkleminin dört sabitini yazın: \(a, b, c\) katsayıları (normal vektörün bileşenleri) ve \(d\) sabit terimi. Hesapla düğmesine basın. Araç, \(L\) uzaklığının yanı sıra payı ve paydayı da verir; böylece her adımı tek tek doğrulayabilirsiniz. Tüm girdiler gerçek sayıdır ve negatif veya ondalıklı olabilir.
Formülün açıklaması
Düzlem denkleminin noktada hesaplanan işaretli değeri, yani \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\), noktanın düzlemden ne kadar uzakta olduğunu normal vektörün uzunluğuyla ölçeklenmiş biçimde gösterir. Bu değeri normal vektörün büyüklüğüne, yani \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) ifadesine bölmek, ölçümü gerçek uzaklık birimlerine dönüştürür; mutlak değer ise sonucun her zaman negatif olmamasını sağlar. Uzaklığın tam olarak 0 çıkması, noktanın düzlem üzerinde yer aldığı anlamına gelir.
$$D = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Çözümlü örnek
\((1, 2, 3)\) noktasını ve \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\) düzlemini ele alalım. Pay: \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\). Payda: \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}3851648\). Buradan
$$L = \frac{24}{5{,}3851648} \approx 4{,}4565820$$bulunur.
Sık sorulan sorular
Uzaklık negatif olabilir mi? Hayır. Paydaki mutlak değer sayesinde sonuç her zaman sıfır ya da pozitiftir.
a, b ve c'nin üçü de sıfır olursa ne olur? Bu durumda normal vektörün uzunluğu sıfır olduğu için geçerli bir düzlem yoktur ve uzaklık tanımsız kalır. Hesaplayıcı, sıfıra bölme hatasına karşı sizi korur.
Önce düzlem denklemini normalize etmem gerekir mi? Hayır. Normal vektörün büyüklüğüne bölme işlemi normalizasyonu otomatik yapar; bu nedenle aynı düzlemin herhangi bir skaler katı da aynı uzaklığı verir.
