這個計算機能做什麼
這個工具可以計算三維空間中，單一點與一個平面之間的最短（垂直）距離。點以座標 \((x_0, y_0, z_0)\) 表示，平面則以一般線性方程式 \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\) 來描述，其中 \((a, b, c)\) 就是該平面的法向量。計算結果為一個非負數，單位與你輸入的座標相同。
使用方式
先輸入點的三個座標，再填入平面方程式的四個常數：係數 \(a\)、\(b\)、\(c\)（即法向量的三個分量）以及常數項 \(d\)，接著按下計算。工具會回傳距離 \(L\)，同時列出分子與分母，方便你逐步驗算。所有欄位皆可輸入一般實數，正負值或小數都沒問題。
公式解析
把點代入平面方程式所得的帶符號數值 \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\)，代表這個點偏離平面的程度，但這個值會受法向量長度的影響而被放大。將它除以法向量的長度 \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)，就能把數值正規化為真正的距離單位；再取絕對值，便可確保答案永遠不為負。若距離恰好等於 \(0\)，表示這個點正好落在平面上。
$$D = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
實際範例
以點 \((1, 2, 3)\) 與平面 \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\) 為例。分子為 \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\)；分母為 \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5.3851648\)。因此 \(L = 24 / 5.3851648 \approx 4.4565820\)。
常見問題
距離會是負數嗎？不會。分子有取絕對值，所以結果一定是 0 或正數。
如果 \(a\)、\(b\)、\(c\) 全部都是 0 怎麼辦？那就不構成有效的平面，因為法向量的長度為零，距離也就無法定義。計算機會自動防止除以零的情況。
我需要先把平面方程式正規化嗎？不用。除以法向量長度的步驟會自動完成正規化，因此同一個平面無論乘上任何倍數，算出來的距離都相同。
