什麼是點到直線的距離？
點到直線的垂直距離，指的是連接該點與直線的最短線段長度——這條線段必定與直線垂直。只要直線寫成一般式 \(ax + by + c = 0\)，再給定一個點 \((x_0, y_0)\)，本計算器就能立即算出這個最短距離。它是座標幾何的基礎工具，在電腦繪圖、機器人路徑規劃與物理學中都經常派上用場。
如何使用本計算器
請依序輸入直線一般式中的三個係數 a、b、c。如果你的直線是斜截式 \(y = mx + k\)，可改寫成 \(mx - y + k = 0\)，也就是 \(a = m\)、\(b = -1\)、\(c = k\)。接著輸入點的座標 \(x_0\) 與 \(y_0\)。結果會顯示垂直距離的絕對值，以及帶正負號的值——後者能告訴你這個點落在直線的哪一側（正號或負號）。
公式解析
公式 $$d = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ 的原理，是把點的座標代入直線方程式。若這個點剛好落在直線上，\(ax_0 + by_0 + c\) 的值就會等於零；離直線越遠，這個值就越大。最後除以 \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)——也就是法向量 \((a, b)\) 的長度——便能把結果換算成真正的距離單位。
範例演算
以直線 \(3x + 4y - 5 = 0\) 與點 \((1, 2)\) 為例：分子 \(= |3\cdot 1 + 4\cdot 2 - 5| = |3 + 8 - 5| = 6\)；分母 \(= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)。因此 $$d = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ 單位}$$
常見問題
如果 a 和 b 同時為零會怎樣？此時並不構成一條有效的直線，距離無從定義；為了避免除以零，計算器會回傳 0。
帶正負號的距離代表什麼？它的正負號表示該點位於直線的哪一側，常用於方向判斷與半平面檢測。
可以用在水平線或鉛直線上嗎？當然可以。鉛直線 \(x = k\) 可寫成 \(x - 0\cdot y - k = 0\)（\(a=1\)、\(b=0\)、\(c=-k\)）；水平線 \(y = k\) 則是 \(0\cdot x + y - k = 0\)。
