ما هي المسافة من نقطة إلى مستقيم؟
المسافة العمودية من نقطة إلى مستقيم هي طول أقصر قطعة تصل بين النقطة والمستقيم، وتُقاس على امتداد مسار عمودي على المستقيم. فإذا كان لديك مستقيم مكتوب بالصيغة العامة \(ax + by + c = 0\) ونقطة \((x_0, y_0)\)، فإن هذه الحاسبة تعطيك تلك المسافة الأقصر في الحال. وهي أداة أساسية في الهندسة الإحداثية ورسوميات الحاسوب وتخطيط مسارات الروبوتات والفيزياء.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc للمستقيم بالصيغة العامة. وإذا كان المستقيم مكتوبًا على هيئة \(y = mx + k\)، فأعد كتابته على شكل \(mx - y + k = 0\)، بحيث يكون \(a = m\) و \(b = -1\) و \(c = k\). بعد ذلك أدخل إحداثيي النقطة \(x_0\) و \(y_0\). وتُظهر النتيجة المسافة العمودية المطلقة، إضافةً إلى القيمة ذات الإشارة التي تدلّك على أي جانب من المستقيم تقع النقطة (موجبة أم سالبة).
شرح المعادلة
تعمل المعادلة $$d = \frac{\left| a x_0 + b y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ عن طريق تعويض إحداثيي النقطة في معادلة المستقيم. فلو كانت النقطة واقعة على المستقيم لكانت قيمة \(a x_0 + b y_0 + c\) تساوي صفرًا. وكلما ابتعدت النقطة عن المستقيم زادت هذه القيمة. أما القسمة على \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) — وهو طول المتجه العمودي (الناظم) \((a, b)\) — فتحوّل النتيجة إلى وحدات مسافة حقيقية.
مثال محلول
للمستقيم \(3x + 4y - 5 = 0\) والنقطة \((1, 2)\): البسط \(= |3\cdot 1 + 4\cdot 2 - 5| = |3 + 8 - 5| = 6\). المقام \(= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). ومن ثَمّ فإن $$d = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ وحدة}$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان كل من a و b يساوي صفرًا؟ عندئذٍ لا يوجد مستقيم صحيح وتكون المسافة غير معرَّفة؛ ولتجنّب القسمة على صفر تُرجع الحاسبة القيمة 0.
ماذا تعني المسافة ذات الإشارة؟ تدلّ إشارتها على أي جانب من المستقيم تقع النقطة، وهو أمر مفيد في اختبارات الاتجاه وفحوصات أنصاف المستويات.
هل يمكنني استخدامها مع مستقيم أفقي أو رأسي؟ نعم. فالمستقيم الرأسي \(x = k\) يُكتب على شكل \(x - 0\cdot y - k = 0\) (حيث \(a=1\)، \(b=0\)، \(c=-k\))؛ والمستقيم الأفقي \(y = k\) يُكتب على شكل \(0\cdot x + y - k = 0\).
