ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أقصر مسافة (المسافة العمودية) بين نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد ومستوى ما. يُعطى المستوى بالصيغة العامة \(ax + by + cz + d = 0\)، بينما تُحدَّد النقطة عبر إحداثياتها \((x_0, y_0, z_0)\). والنتيجة دائماً عدد غير سالب يمثّل مدى بُعد النقطة عن المستوى.
طريقة الاستخدام
أدخل معاملات المستوى الأربعة \(a\) و\(b\) و\(c\) و\(d\)، ثم أدخل إحداثيات النقطة \(x_0\) و\(y_0\) و\(z_0\). اضغط على زر الحساب لتحصل على المسافة، إلى جانب قيمة البسط ذات الإشارة ومقدار المتجه العمودي للمستوى كمرجع إضافي. وإذا كانت قيمة البسط مساوية للصفر، فهذا يعني أن النقطة تقع تماماً على المستوى (المسافة = 0).
شرح المعادلة
المتجه \((a, b, c)\) هو المتجه العمودي (الناظم) للمستوى. ويقيس المقدار \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) مدى بُعد النقطة في اتجاه هذا المتجه العمودي (وهو مقدار ذو إشارة). وبقسمة قيمته المطلقة على طول المتجه العمودي \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) نحصل على المسافة الهندسية الحقيقية:
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} + \text{c}^{2}}}$$
مثال محلول
المستوى: \(x + 2y + 2z - 6 = 0\)، والنقطة \((1, 1, 1)\). البسط \(= |1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6| = |-1| = 1\). ومقدار المتجه العمودي \(= \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\). وبالتالي تكون المسافة $$D = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \text{ وحدة}.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المستوى معطى بالصيغة \(ax+by+cz = d\)؟ أعِد ترتيب المعادلة إلى \(ax+by+cz - d = 0\)، أي أدخل الثابت بقيمة \(-d\) في هذه الحاسبة.
لماذا لا تكون النتيجة سالبة أبداً؟ لأن المسافة مقدار، لذا تُستخدم القيمة المطلقة للبسط. أما القيمة ذات الإشارة فتُعرض بشكل منفصل لتوضّح في أي جانب من المستوى تقع النقطة.
ماذا يحدث إذا كانت \(a\) و\(b\) و\(c\) جميعها أصفاراً؟ في هذه الحالة لا يوجد مستوى صالح (لأن طول المتجه العمودي يساوي صفراً) وتصبح المسافة غير معرّفة؛ وتُرجِع هذه الحاسبة القيمة 0 في هذه الحالة الشاذة.
