यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल त्रि-आयामी अंतरिक्ष (3D space) में किसी बिंदु और किसी समतल के बीच की सबसे छोटी यानी लंबवत (perpendicular) दूरी निकालता है। समतल को सामान्य रूप \(ax + by + cz + d = 0\) में दिया जाता है और बिंदु उसके निर्देशांकों \((x_0, y_0, z_0)\) से दर्शाया जाता है। परिणाम हमेशा एक धनात्मक (या शून्य) संख्या होती है, जो बताती है कि बिंदु समतल से कितनी दूर स्थित है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले समतल के चारों गुणांक \(a\), \(b\), \(c\) और \(d\) भरें, फिर बिंदु के निर्देशांक \(x_0\), \(y_0\) और \(z_0\) दर्ज करें। 'गणना करें' बटन दबाते ही आपको दूरी मिल जाएगी, साथ ही चिह्नित अंश (signed numerator) और समतल के अभिलंब सदिश (normal vector) का परिमाण भी संदर्भ के लिए दिखाया जाएगा। यदि चिह्नित अंश शून्य आता है, तो इसका मतलब है कि बिंदु ठीक समतल पर ही स्थित है (दूरी = 0)।
सूत्र की व्याख्या
सदिश \((a, b, c)\) समतल का अभिलंब (normal) है। व्यंजक \(a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 + d\) यह मापता है कि बिंदु उस अभिलंब दिशा में कितनी दूर बैठा है (यह एक चिह्नित मान होता है)। इसके निरपेक्ष मान (absolute value) को अभिलंब की लंबाई \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) से भाग देने पर यह वास्तविक ज्यामितीय दूरी में बदल जाता है:
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} + \text{c}^{2}}}$$
हल किया हुआ उदाहरण
समतल: \(x + 2y + 2z - 6 = 0\), बिंदु \((1, 1, 1)\)। अंश = \(|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 6| = |-1| = 1\)। अभिलंब का परिमाण = \(\sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\)। अतः $$D = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \text{ इकाई}$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि समतल \(ax+by+cz = d\) के रूप में दिया हो तो? इसे फिर से व्यवस्थित करके \(ax+by+cz - d = 0\) के रूप में लिखें, यानी इस कैलकुलेटर में स्थिरांक के रूप में \(-d\) डालें।
परिणाम कभी ऋणात्मक क्यों नहीं होता? दूरी एक परिमाण (magnitude) है, इसलिए अंश का निरपेक्ष मान लिया जाता है। चिह्नित मान अलग से दिखाया जाता है ताकि पता चले कि बिंदु समतल के किस ओर है।
यदि \(a\), \(b\) और \(c\) तीनों शून्य हों तो क्या होगा? तब कोई वैध समतल बनता ही नहीं (अभिलंब की लंबाई शून्य हो जाती है) और दूरी अपरिभाषित हो जाती है; ऐसी विकृत स्थिति में यह कैलकुलेटर 0 लौटाता है।
