이 계산기의 기능
이 도구는 3차원 공간에 있는 한 점과 평면 사이의 최단 거리(수직 거리)를 구합니다. 평면은 일반형 \(ax + by + cz + d = 0\)으로 주어지며, 점은 좌표 \((x_0, y_0, z_0)\)로 나타냅니다. 계산 결과는 점이 평면에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 0 이상의 값으로 출력됩니다.
사용 방법
먼저 평면의 네 계수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 입력하고, 이어서 점의 좌표 \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 거리와 함께 참고용으로 부호가 있는 분자 값과 평면 법선 벡터의 크기가 표시됩니다. 부호가 있는 분자 값이 0이면 그 점은 평면 위에 정확히 놓여 있다는 뜻이며, 이때 거리는 0입니다.
공식 풀이
벡터 \((a, b, c)\)는 평면의 법선 벡터입니다. 식 \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\)는 점이 이 법선 방향을 따라 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 부호가 있는 값입니다. 이 값의 절댓값을 법선 벡터의 길이 \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)로 나누면 실제 기하학적 거리가 됩니다.
$$d = \frac{\left| a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$$
계산 예시
평면: \(x + 2y + 2z - 6 = 0\), 점 \((1, 1, 1)\). 분자 $$= \left| 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6 \right| = \left| -1 \right| = 1.$$ 법선 벡터의 크기 $$= \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3.$$ 따라서 \(d = \frac{1}{3} \approx 0.3333\) 단위입니다.
자주 묻는 질문
평면이 \(ax+by+cz = d\) 형태로 주어졌다면 어떻게 하나요? \(ax+by+cz - d = 0\)으로 정리한 뒤, 상수항을 \(-d\)로 입력하면 됩니다.
결과가 음수가 되지 않는 이유는 무엇인가요? 거리는 크기(절댓값) 개념이므로 분자의 절댓값을 사용합니다. 점이 평면의 어느 쪽에 있는지는 부호가 있는 값을 따로 표시해 알려드립니다.
\(a\), \(b\), \(c\)가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 법선 벡터의 길이가 0이 되어 유효한 평면이 존재하지 않으므로 거리를 정의할 수 없습니다. 이런 예외적인 경우 이 계산기는 0을 반환합니다.
