Ce que fait ce calculateur
Cet outil détermine la distance la plus courte (perpendiculaire) entre un point de l'espace à trois dimensions et un plan. Le plan est donné sous forme générale \(ax + by + cz + d = 0\), et le point est défini par ses coordonnées \((x_0, y_0, z_0)\). Le résultat est toujours un nombre positif ou nul, qui indique à quelle distance le point se situe du plan.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre coefficients du plan a, b, c et d, puis entrez les coordonnées du point \(x_0\), \(y_0\) et \(z_0\). Lancez le calcul pour obtenir la distance, accompagnée de la valeur signée du numérateur et de la norme du vecteur normal au plan, données à titre de repère. Si le numérateur signé vaut zéro, le point appartient exactement au plan (distance = 0).
La formule expliquée
Le vecteur \((a, b, c)\) est le vecteur normal au plan. L'expression \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) mesure de combien le point s'écarte le long de cette direction normale (il s'agit d'une valeur signée). En divisant sa valeur absolue par la longueur du vecteur normal \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), on obtient une véritable distance géométrique :
$$d = \frac{\left| a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d \right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Exemple résolu
Plan : \(x + 2y + 2z - 6 = 0\), point \((1, 1, 1)\). Numérateur \(= |1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6| = |-1| = 1\). Norme du vecteur normal \(= \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\). On obtient donc $$d = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \text{ unité}.$$
FAQ
Et si le plan est donné sous la forme \(ax+by+cz = d\) ? Réécrivez-le sous la forme \(ax+by+cz - d = 0\), et saisissez donc la constante comme \(-d\) dans ce calculateur.
Pourquoi le résultat n'est-il jamais négatif ? Une distance est une grandeur, on utilise donc la valeur absolue du numérateur. La valeur signée est affichée séparément pour indiquer de quel côté du plan se trouve le point.
Que se passe-t-il si a, b et c sont tous nuls ? Dans ce cas, il n'existe pas de plan valide (le vecteur normal a une longueur nulle) et la distance n'est pas définie ; ce calculateur renvoie 0 dans ce cas dégénéré.
