Qu'est-ce que le calculateur de distance 2D ?
Le calculateur de distance 2D détermine la distance en ligne droite (distance euclidienne) entre deux points situés sur un plan de coordonnées. À partir des coordonnées du premier point \((x_1, y_1)\) et du second point \((x_2, y_2)\), il renvoie la plus courte distance qui les sépare, c'est-à-dire la longueur du segment de droite reliant ces deux points. La méthode fonctionne quelle que soit l'unité utilisée (pixels, mètres, kilomètres), à condition que les deux points soient exprimés à la même échelle.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées X et Y de chacun des deux points. Ces coordonnées peuvent être positives, négatives ou décimales. Cliquez sur « Calculer » : l'outil affiche alors la distance, ainsi que les écarts horizontal (\(\Delta x\)) et vertical (\(\Delta y\)) qui forment le triangle rectangle à l'origine du résultat.
La formule expliquée
La formule de distance découle directement du théorème de Pythagore. Le côté horizontal du triangle correspond à \(\Delta x = x_2 - x_1\) et le côté vertical à \(\Delta y = y_2 - y_1\). La distance représente l'hypoténuse :
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
L'élévation au carré supprime le signe de chaque écart : l'ordre dans lequel vous indiquez les deux points n'a donc aucune incidence sur le résultat.
Exemple concret
Prenons le premier point en \((0, 0)\) et le second en \((3, 4)\). On obtient alors \(\Delta x = 3 - 0 = 3\) et \(\Delta y = 4 - 0 = 4\). La distance vaut $$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ unités}$$ c'est le célèbre triangle rectangle 3-4-5.
Exemples détaillés supplémentaires
Chaque exemple utilise la formule de distance en 2D \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Remplacez les coordonnées, simplifiez les différences, élevez-les au carré, additionnez et prenez la racine carrée.
Exemple 1 — Coordonnées négatives : (−2, 3) à (4, −1)
- Trouvez les différences : \(\Delta x = 4 - (-2) = 6\), \(\Delta y = -1 - 3 = -4\).
- Élevez-les au carré : \(6^2 = 36\), \((-4)^2 = 16\).
- Additionnez : \(36 + 16 = 52\).
- Prenez la racine : \(d = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx\) 7.2111.
Remarquez que soustraire une coordonnée négative augmente l'écart — l'étape de l'élévation au carré élimine le signe, donc l'ordre des points n'a pas d'importance.
Exemple 2 — Coordonnées décimales : (1.5, 2.0) à (4.5, 6.0)
- Différences : \(\Delta x = 4.5 - 1.5 = 3.0\), \(\Delta y = 6.0 - 2.0 = 4.0\).
- Carrés : \(3.0^2 = 9\), \(4.0^2 = 16\).
- Somme et racine : \(d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} =\) 5.
C'est un triangle rectangle 3-4-5 à l'échelle, donc la distance est exactement 5 même avec des entrées décimales.
Exemple 3 — Points partageant un axe (ligne verticale) : (3, 1) à (3, 8)
- Différences : \(\Delta x = 3 - 3 = 0\), \(\Delta y = 8 - 1 = 7\).
- Puisque \(\Delta x = 0\), la formule se réduit à \(d = \sqrt{0 + 7^2} = |\Delta y|\).
- Résultat : \(d =\) 7.
Quand deux points partagent une coordonnée x, le segment est vertical et la distance est simplement la différence absolue des valeurs y ; de même, les coordonnées y partagées donnent une distance horizontale égale à \(|\Delta x|\).
Définitions et glossaire
- Distance euclidienne
- La distance ordinaire en ligne droite entre deux points, mesurée « à vol d'oiseau ». Sur un plan 2D, elle se calcule avec \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) et est toujours une valeur non négative.
- Coordonnée (x, y)
- Une paire ordonnée localisant un point sur le plan : \(x\) est la position horizontale (mesurée le long de l'axe des x) et \(y\) est la position verticale (mesurée le long de l'axe des y), toutes deux relatives à l'origine (0, 0).
- Δx (delta x)
- La variation horizontale entre les deux points, \(\Delta x = x_2 - x_1\). Elle peut être positive, négative ou nulle ; seul son carré est utilisé dans la formule de distance.
- Δy (delta y)
- La variation verticale entre les deux points, \(\Delta y = y_2 - y_1\). Comme \(\Delta x\), son signe est sans importance une fois au carré.
- Hypoténuse
- Le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit. La distance \(d\) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux legs sont \(|\Delta x|\) et \(|\Delta y|\).
- Théorème de Pythagore
- La relation \(a^2 + b^2 = c^2\) pour un triangle rectangle avec des legs \(a, b\) et une hypoténuse \(c\). La formule de distance 2D en est une application directe, avec \(a = \Delta x\), \(b = \Delta y\) et \(c = d\).
Distance entre des paires de points échantillons
Chaque ligne montre les deux points, les variations horizontale et verticale, et la distance en ligne droite résultante. Plusieurs lignes sont des rapports de triangle rectangle classiques qui donnent des distances entières.
| (x₁, y₁) | (x₂, y₂) | Δx | Δy | Distance d | Remarque |
|---|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 | Triangle 3-4-5 |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 | Triangle 5-12-13 |
| (1, 1) | (9, 1) | 8 | 0 | 8 | Horizontal (y partagé) |
| (2, 2) | (2, 9) | 0 | 7 | 7 | Vertical (x partagé) |
| (−2, 3) | (4, −1) | 6 | −4 | ≈ 7.2111 | Coordonnées négatives |
| (1.5, 2) | (4.5, 6) | 3 | 4 | 5 | Décimal, 3-4-5 à l'échelle |
| (0, 0) | (1, 1) | 1 | 1 | ≈ 1.4142 | Diagonale unitaire (\(\sqrt{2}\)) |
| (0, 0) | (8, 15) | 8 | 15 | 17 | Triangle 8-15-17 |
FAQ
L'ordre des points a-t-il une importance ? Non. Comme les écarts sont élevés au carré, intervertir les deux points donne exactement la même distance.
Puis-je utiliser des coordonnées négatives ? Oui. Les valeurs négatives sont parfaitement prises en charge ; la formule les gère sans problème.
Dans quelle unité s'exprime le résultat ? Dans l'unité de vos coordonnées. Si vos points sont exprimés en mètres, la distance le sera également.
