¿Qué es la calculadora de distancia 2D?
La calculadora de distancia 2D obtiene la distancia en línea recta (euclidiana) entre dos puntos situados en un plano de coordenadas. A partir de las coordenadas del primer punto \((x_1, y_1)\) y del segundo \((x_2, y_2)\), devuelve la distancia más corta entre ambos, es decir, la longitud del segmento recto que los une. Funciona con cualquier unidad (píxeles, metros, kilómetros) siempre que los dos puntos compartan la misma escala.
Cómo usarla
Introduce las coordenadas X e Y de cada uno de los dos puntos. Los valores pueden ser positivos, negativos o decimales. Pulsa calcular y la herramienta te mostrará la distancia junto con las diferencias horizontal (\(\Delta x\)) y vertical (\(\Delta y\)), que forman el triángulo rectángulo en el que se basa el resultado.
La fórmula explicada
La fórmula de la distancia es una aplicación directa del teorema de Pitágoras. El cateto horizontal del triángulo es \(\Delta x = x_2 - x_1\) y el cateto vertical es \(\Delta y = y_2 - y_1\). La distancia equivale a la hipotenusa:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
Al elevar al cuadrado se elimina el signo de cada diferencia, por lo que el orden en que indiques los puntos no altera el resultado.
Ejemplo resuelto
Tomemos el primer punto en \((0, 0)\) y el segundo en \((3, 4)\). Entonces \(\Delta x = 3 - 0 = 3\) y \(\Delta y = 4 - 0 = 4\). La distancia es $$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ unidades: el clásico triángulo rectángulo 3-4-5.
Más ejemplos resueltos
Cada ejemplo usa la fórmula de distancia 2D \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Sustituye las coordenadas, simplifica las diferencias, eleva al cuadrado, suma y extrae la raíz cuadrada.
Ejemplo 1 — Coordenadas negativas: (−2, 3) a (4, −1)
- Encuentra las diferencias: \(\Delta x = 4 - (-2) = 6\), \(\Delta y = -1 - 3 = -4\).
- Eleva al cuadrado: \(6^2 = 36\), \((-4)^2 = 16\).
- Suma: \(36 + 16 = 52\).
- Extrae la raíz: \(d = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx\) 7.2111.
Observa que restar una coordenada negativa aumenta la distancia — el paso de elevación al cuadrado elimina el signo, así que el orden de los puntos no importa.
Ejemplo 2 — Coordenadas decimales: (1.5, 2.0) a (4.5, 6.0)
- Diferencias: \(\Delta x = 4.5 - 1.5 = 3.0\), \(\Delta y = 6.0 - 2.0 = 4.0\).
- Cuadrados: \(3.0^2 = 9\), \(4.0^2 = 16\).
- Suma y raíz: \(d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} =\) 5.
Este es un triángulo rectángulo 3-4-5 escalado, así que la distancia es exactamente 5 incluso con entradas decimales.
Ejemplo 3 — Puntos que comparten un eje (línea vertical): (3, 1) a (3, 8)
- Diferencias: \(\Delta x = 3 - 3 = 0\), \(\Delta y = 8 - 1 = 7\).
- Dado que \(\Delta x = 0\), la fórmula se reduce a \(d = \sqrt{0 + 7^2} = |\Delta y|\).
- Resultado: \(d =\) 7.
Cuando dos puntos comparten una coordenada x, el segmento es vertical y la distancia es simplemente la diferencia absoluta de los valores y; del mismo modo, las coordenadas y compartidas dan una distancia horizontal igual a \(|\Delta x|\).
Definiciones y glosario
- Distancia euclidiana
- La distancia ordinaria en línea recta entre dos puntos, medida "en línea recta". En un plano 2D se calcula con \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) y siempre es un valor no negativo.
- Coordenada (x, y)
- Un par ordenado que ubica un punto en el plano: \(x\) es la posición horizontal (medida a lo largo del eje x) e \(y\) es la posición vertical (medida a lo largo del eje y), ambas relativas al origen (0, 0).
- Δx (delta x)
- El cambio horizontal entre los dos puntos, \(\Delta x = x_2 - x_1\). Puede ser positivo, negativo o cero; solo su cuadrado se usa en la fórmula de distancia.
- Δy (delta y)
- El cambio vertical entre los dos puntos, \(\Delta y = y_2 - y_1\). Como \(\Delta x\), su signo es irrelevante una vez elevado al cuadrado.
- Hipotenusa
- El lado más largo de un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto. La distancia \(d\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos son \(|\Delta x|\) e \(|\Delta y|\).
- Teorema de Pitágoras
- La relación \(a^2 + b^2 = c^2\) para un triángulo rectángulo con catetos \(a, b\) e hipotenusa \(c\). La fórmula de distancia 2D es una aplicación directa, con \(a = \Delta x\), \(b = \Delta y\) y \(c = d\).
Distancia entre pares de puntos de muestra
Cada fila muestra los dos puntos, los cambios horizontal y vertical, y la distancia en línea recta resultante. Varias filas son ratios clásicos de triángulos rectángulos que producen distancias con números enteros.
| (x₁, y₁) | (x₂, y₂) | Δx | Δy | Distancia d | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 | Triángulo 3-4-5 |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 | Triángulo 5-12-13 |
| (1, 1) | (9, 1) | 8 | 0 | 8 | Horizontal (y compartida) |
| (2, 2) | (2, 9) | 0 | 7 | 7 | Vertical (x compartida) |
| (−2, 3) | (4, −1) | 6 | −4 | ≈ 7.2111 | Coordenadas negativas |
| (1.5, 2) | (4.5, 6) | 3 | 4 | 5 | Decimal, 3-4-5 escalado |
| (0, 0) | (1, 1) | 1 | 1 | ≈ 1.4142 | Diagonal unitaria (\(\sqrt{2}\)) |
| (0, 0) | (8, 15) | 8 | 15 | 17 | Triángulo 8-15-17 |
Preguntas frecuentes
¿Importa el orden de los puntos? No. Como las diferencias se elevan al cuadrado, intercambiar los puntos da la misma distancia.
¿Puedo usar coordenadas negativas? Sí. Los valores negativos son totalmente compatibles; la fórmula los gestiona correctamente.
¿En qué unidades se expresa el resultado? En las mismas unidades que tus coordenadas. Si los puntos están en metros, la distancia estará en metros.
