¿Qué es un triángulo AAS?
Un triángulo AAS (del inglés Angle-Angle-Side, es decir, ángulo-ángulo-lado) es aquel en el que conoces dos de sus ángulos y la longitud de un lado que no está comprendido entre esos dos ángulos. Como los tres ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180°, conocer dos de ellos te da automáticamente el tercero. A partir de ahí, la ley de senos te permite hallar todos los lados restantes, de modo que el triángulo queda completamente determinado.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el ángulo A y el ángulo B en grados, y la longitud del lado b, es decir, el lado opuesto al ángulo B. La calculadora te devuelve el tercer ángulo C, los dos lados desconocidos a y c, el perímetro y el área. Asegúrate de que tus dos ángulos sumen menos de 180°; de lo contrario, no existe ningún triángulo válido.
La fórmula explicada
Primero halla el ángulo que falta: \(C = 180^\circ - A - B\). Después aplica la ley de senos, que establece que la razón entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es la misma para los tres lados:
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$Despejando obtienes
$$a = \frac{b\,\sin A}{\sin B}, \quad c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$El área se calcula con \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que A = 40°, B = 60° y el lado b = 10. Entonces \(C = 180 - 40 - 60 = 80^\circ\). Usando la ley de senos,
$$a = \frac{10\cdot \sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}6428}{0{,}8660} \approx 7{,}422$$$$c = \frac{10\cdot \sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}9848}{0{,}8660} \approx 11{,}372$$El perímetro es de aproximadamente 28,79 y el área es \(\tfrac{1}{2}\cdot 7{,}422\cdot 10\cdot \sin 80^\circ \approx 36{,}55\).
Términos clave y variables
- AAS (Ángulo-Ángulo-Lado)
- Un caso de triángulo donde se conocen dos ángulos y un lado no incluido (un lado que no se encuentra entre los dos ángulos dados). AAS siempre determina un triángulo único.
- ASA (Ángulo-Lado-Ángulo)
- Un caso relacionado donde el lado conocido se encuentra entre los dos ángulos conocidos. ASA y AAS utilizan la misma ley de los senos pero difieren en qué lado se proporciona.
- Ángulo A, B, C
- Los tres ángulos interiores del triángulo. Siempre suman \(180^\circ\), razón por la cual \(C = 180^\circ - A - B\).
- Lado a, b, c
- Las longitudes de los lados, cada una etiquetada para corresponder con el ángulo opuesto: el lado \(a\) es opuesto al ángulo \(A\), el lado \(b\) opuesto a \(B\), y el lado \(c\) opuesto a \(C\). Este emparejamiento es lo que hace que funcione la ley de los senos.
- Ángulo de vértice versus lado
- Un ángulo de vértice es el ángulo formado en una esquina donde se encuentran dos lados; un lado es el segmento recto que une dos vértices. En AAS se te dan dos ángulos de vértice y un lado.
- Ley de los senos
- La relación \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\). Te permite encontrar un lado desconocido a partir de un lado conocido y los ángulos opuestos a ambos.
- Lado incluido versus no incluido
- Un lado incluido se encuentra entre dos ángulos dados (como en ASA); un lado no incluido no se encuentra (como en AAS, donde el lado dado es opuesto a uno de los ángulos).
- Perímetro
- La distancia total alrededor del triángulo, \(P = a + b + c\).
- Área
- La región encerrada por el triángulo. Con dos lados y su ángulo incluido es \(\text{Área} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\); cualquier par de lados y el ángulo entre ellos da el mismo valor.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre AAS y ASA? En un triángulo ASA el lado conocido se sitúa entre los dos ángulos conocidos; en un triángulo AAS el lado conocido es opuesto a uno de ellos. Ambos casos tienen solución única mediante la ley de senos.
¿Por qué los ángulos deben sumar menos de 180°? Los tres ángulos de un triángulo deben sumar exactamente 180°, así que si dos ángulos ya suman 180° o más, no queda espacio para un tercer ángulo positivo.
¿Puedo introducir el lado en cualquier unidad? Sí. Los lados resultantes comparten la unidad que utilices para el lado b; el área queda expresada en esa unidad al cuadrado.
