¿Qué es la fórmula de Bretschneider?
La fórmula de Bretschneider permite calcular el área de cualquier cuadrilátero simple —convexo o no, cíclico o no— a partir de sus cuatro lados y la suma de un par de ángulos interiores opuestos. Es una generalización de la fórmula de Brahmagupta (para cuadriláteros cíclicos) y de la fórmula de Herón (para triángulos). Esta calculadora te devuelve tanto el área S como el perímetro L en la unidad lineal que elijas (m, cm, in, etc.); el área se expresa en esa misma unidad al cuadrado.
Cómo usarla
Introduce los cuatro lados a, b, c y d en orden a lo largo del cuadrilátero. A continuación escribe la suma de un par de ángulos interiores opuestos, en grados: son los dos vértices que no son adyacentes entre sí (el ángulo entre los lados a y b, más el ángulo entre los lados c y d). Si el cuadrilátero es cíclico, los ángulos opuestos son suplementarios, de modo que su suma es 180 grados y la fórmula se reduce a la de Brahmagupta.
La fórmula explicada
Sea \(s = (a + b + c + d) / 2\) el semiperímetro y \(\theta\) la suma del par de ángulos opuestos. Entonces el área es:
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$El ángulo se convierte a radianes (\(\times\pi/180\)) antes de aplicar el coseno, y dentro del coseno al cuadrado se utiliza el ángulo mitad \(\theta/2\). Cuando \(\theta = 180\) grados, \(\cos(90^\circ) = 0\) y el término de corrección se anula.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\) y \(\theta = 180\) grados. El semiperímetro es \(s = 43/2 = 21{,}5\), por lo que \(s-a = 8{,}5\), \(s-b = 7{,}5\), \(s-c = 18{,}5\) y \(s-d = 8{,}5\). Su producto es \(10024{,}6875\). Como \(\cos(90^\circ) = 0\), el término de corrección es cero, así que \(S = \sqrt{10024{,}6875} \approx 100{,}123\) unidades cuadradas, y el perímetro \(L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43\) unidades.
Preguntas frecuentes
¿Por qué me aparece el mensaje de "cuadrilátero no válido"? Cada lado debe ser positivo y menor que la suma de los otros tres; de lo contrario, la figura no se puede cerrar. El mensaje también surge cuando el radicando se vuelve negativo, lo que significa que las longitudes de los lados y el ángulo son incompatibles entre sí.
¿Los lados necesitan una unidad concreta? No. Usa cualquier unidad lineal de forma coherente; el área saldrá en esa unidad al cuadrado y el perímetro en esa misma unidad.
¿Y si solo conozco las diagonales? Esta calculadora necesita los lados y la suma de los ángulos opuestos. En un cuadrilátero cíclico basta con usar \(\theta = 180\) para aplicar la fórmula de Brahmagupta.
