Công thức Bretschneider là gì?
Công thức Bretschneider cho phép tính diện tích của một tứ giác đơn bất kỳ — dù lồi hay lõm, nội tiếp hay không — chỉ từ bốn độ dài cạnh và tổng của một cặp góc trong đối nhau. Đây là dạng tổng quát của công thức Brahmagupta (dùng cho tứ giác nội tiếp) và công thức Heron (dùng cho tam giác). Công cụ này trả về cả diện tích S lẫn chu vi L theo đơn vị độ dài tùy bạn chọn (m, cm, in,...); diện tích được biểu diễn theo đơn vị đó bình phương.
Cách sử dụng
Nhập bốn độ dài cạnh a, b, c, d theo thứ tự lần lượt quanh tứ giác. Sau đó nhập tổng của một cặp góc trong đối nhau, tính bằng độ — đó là hai góc ở đỉnh không kề nhau (góc giữa cạnh a và b, cộng với góc giữa cạnh c và d). Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn thì hai góc đối bù nhau, nên tổng bằng 180 độ và công thức rút gọn về công thức Brahmagupta.
Giải thích công thức
Gọi \(s = (a + b + c + d) / 2\) là nửa chu vi và \(\theta\) là tổng cặp góc đối. Khi đó diện tích bằng:
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$Góc được đổi sang radian (\(\times \pi/180\)) trước khi lấy cosin, và nửa góc \(\theta/2\) được dùng bên trong cosin bình phương. Khi \(\theta = 180\) độ thì \(\cos(90^\circ) = 0\) và số hạng hiệu chỉnh triệt tiêu.
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\), \(\theta = 180\) độ. Nửa chu vi là \(s = 43/2 = 21{,}5\), suy ra \(s-a = 8{,}5\), \(s-b = 7{,}5\), \(s-c = 18{,}5\), \(s-d = 8{,}5\). Tích của chúng là \(10024{,}6875\). Vì \(\cos(90^\circ) = 0\) nên số hạng hiệu chỉnh bằng 0, do đó:
$$S = \sqrt{10024{,}6875} \approx 100{,}123 \text{ đơn vị vuông}$$và chu vi \(L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43\) đơn vị.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao tôi nhận được thông báo "tứ giác không hợp lệ"? Mỗi cạnh phải dương và nhỏ hơn tổng ba cạnh còn lại; nếu không thì hình không thể khép kín. Thông báo này cũng xuất hiện khi biểu thức dưới căn âm, nghĩa là độ dài các cạnh và góc không tương thích với nhau.
Các cạnh có cần đơn vị cụ thể không? Không. Bạn chỉ cần dùng nhất quán một đơn vị độ dài; diện tích sẽ ra theo đơn vị đó bình phương còn chu vi theo đúng đơn vị đó.
Nếu tôi chỉ biết hai đường chéo thì sao? Công cụ này cần các cạnh và tổng hai góc đối. Với tứ giác nội tiếp, bạn chỉ cần đặt \(\theta = 180\) để áp dụng công thức Brahmagupta.
