네 변과 마주보는 두 각의 합으로 구하는 사각형 넓이 (브레트슈나이더 공식)

계산 입력

변 a

변 b

변 c

변 d

마주보는 각의 합 (도)

결과

넓이 S

100.1234

제곱 단위

둘레 L	43 units
공식	브레트슈나이더 공식

브레트슈나이더 공식이란?

브레트슈나이더 공식은 볼록하든 아니든, 원에 내접하든 아니든 관계없이 모든 단순 사각형의 넓이를 구할 수 있는 공식입니다. 필요한 정보는 네 변의 길이와 마주보는 한 쌍의 내각의 합뿐입니다. 이 공식은 원에 내접하는 사각형에 쓰이는 브라마굽타 공식과 삼각형에 쓰이는 헤론 공식을 모두 일반화한 것입니다. 이 계산기는 사용자가 선택한 임의의 길이 단위(m, cm, in 등)로 넓이 \(S\)와 둘레 \(L\)을 함께 알려주며, 넓이는 해당 단위의 제곱으로 표시됩니다.

네 변과 한 쌍의 대각으로 정의되는 일반 사각형.

사용 방법

사각형을 따라 차례대로 네 변의 길이 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 입력하세요. 그다음 마주보는 한 쌍의 내각의 합을 도(°) 단위로 입력합니다. 여기서 마주보는 각이란 서로 인접하지 않은 두 꼭짓점의 각, 즉 변 \(a\)와 \(b\) 사이의 각과 변 \(c\)와 \(d\) 사이의 각을 말합니다. 만약 사각형이 원에 내접한다면 마주보는 각은 보각 관계이므로 그 합은 180도가 되고, 이때 공식은 자연스럽게 브라마굽타 공식으로 단순화됩니다.

공식 자세히 보기

반둘레를 \(s = (a + b + c + d) / 2\) 라 하고, 마주보는 각의 합을 \(\theta\)라고 합시다. 그러면 넓이는 다음과 같습니다.

$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

코사인을 계산하기 전에 각도는 라디안으로 변환(\(\times \pi/180\))하며, 제곱한 코사인 안에는 반각인 \(\theta/2\)를 사용합니다. \(\theta\)가 180도일 때는 \(\cos(90^\circ) = 0\)이 되어 보정항이 사라집니다.

브레치나이더 공식은 대각의 합을 이용해 두 삼각형을 결합한다.

계산 예시

\(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\), \(\theta = 180^\circ\)라고 해봅시다. 반둘레는 \(s = 43/2 = 21.5\)이므로 \(s-a = 8.5\), \(s-b = 7.5\), \(s-c = 18.5\), \(s-d = 8.5\)가 됩니다. 이들의 곱은 \(10024.6875\)입니다. \(\cos(90^\circ) = 0\)이므로 보정항은 0이 되고, 따라서 다음과 같습니다.

$$S = \sqrt{10024.6875} \approx 100.123 \text{ 제곱 단위}$$$$L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43 \text{ 단위}$$

자주 묻는 질문

왜 "유효하지 않은 사각형" 메시지가 뜨나요? 각 변은 양수여야 하며 나머지 세 변의 합보다 짧아야 합니다. 그렇지 않으면 도형이 닫히지 않습니다. 또한 근호 안의 값이 음수가 될 때도 이 메시지가 나타나는데, 이는 입력한 변의 길이와 각이 서로 모순됨을 의미합니다.

변에 특정 단위를 써야 하나요? 아닙니다. 하나의 길이 단위를 일관되게 사용하기만 하면 됩니다. 넓이는 그 단위의 제곱으로, 둘레는 그 단위로 나옵니다.

대각선만 알고 있다면 어떻게 하나요? 이 계산기는 변의 길이와 마주보는 각의 합이 필요합니다. 원에 내접하는 사각형이라면 \(\theta = 180\)을 입력해 브라마굽타 공식을 적용하면 됩니다.