이 계산기의 기능
두 벡터 사이의 각도 계산기는 2차원 또는 3차원 공간에서 두 벡터가 이루는 각도를 구해 줍니다. 각 벡터의 X, Y 성분과 (필요하다면) Z 성분을 입력하면 각도를 도(°)와 라디안으로 동시에 보여 주고, 내적, 각 벡터의 크기, 그리고 각도의 코사인 값까지 함께 계산합니다. 공간상의 어떤 방향에도 적용되며, 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스, 선형대수 등 다양한 분야에서 널리 쓰입니다.
사용 방법
첫 번째 줄에 벡터 A의 성분을, 두 번째 줄에 벡터 B의 성분을 입력하세요. 2D 벡터라면 Z 칸은 비워 두거나 0으로 두면 됩니다. 계산 버튼을 누르면 각도가 표시됩니다. 결과는 항상 0°에서 180° 사이로 나오는데, 이는 내적 비율의 역코사인(arccos)이 음수가 아닌 각도를 돌려주기 때문입니다.
공식 풀이
두 벡터의 내적은 각 벡터 크기의 곱에 둘 사이 각도의 코사인을 곱한 값과 같습니다: \(a\cdot b = |a||b|\cos\theta\). 이 식을 정리하면 다음과 같이 됩니다:
$$\theta = \arccos\left(\frac{a\cdot b}{|a||b|}\right)$$내적은 \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)로 계산하고, 각 벡터의 크기는 성분을 각각 제곱해 더한 값의 제곱근입니다. 두 벡터 중 하나라도 길이가 0이면 각도를 정의할 수 없으므로, 계산기는 0으로 나누는 경우를 자동으로 걸러 줍니다.
계산 예시
A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0)인 경우를 살펴보겠습니다. 내적은 다음과 같습니다:
$$1\times 1 + 0\times 1 + 0\times 0 = 1$$크기는 \(|A| = 1\), \(|B| = \sqrt{2} \approx 1.4142\)입니다. 따라서
$$\cos\theta = \frac{1}{1.4142} \approx 0.7071$$$$\theta = \arccos(0.7071) = 45°\ (\text{약 } 0.7854\ \text{라디안})$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
2D 벡터도 계산할 수 있나요? 네 — Z 성분을 비워 두거나 0으로 입력하면 됩니다.
왜 각도가 180°를 넘지 않나요? 역코사인은 0에서 180° 사이의 값만 돌려주는데, 이는 방향에 상관없이 두 벡터가 이루는 가장 작은 각도이기 때문입니다.
결과가 90°이면 어떤 의미인가요? 두 벡터가 서로 수직(직교)이라는 뜻입니다. 내적이 정확히 0일 때 항상 이렇게 됩니다.
