두 직선의 사잇각이란?
두 직선이 한 점에서 만나면 두 쌍의 각, 즉 예각과 그에 보각이 되는 둔각이 생깁니다. 이 계산기는 두 직선을 일일이 그래프로 그릴 필요 없이, 각 직선의 기울기 \(m_1\)과 \(m_2\)만으로 교차각을 바로 구해 줍니다. 좌표기하, 삼각함수, 측량, 컴퓨터 그래픽스 등에서 두루 쓰이는 필수 도구입니다.
계산기 사용법
첫 번째 직선의 기울기(\(m_1\))와 두 번째 직선의 기울기(\(m_2\))를 입력하세요. 기울기는 각 직선이 "수평으로 얼마 갈 때 수직으로 얼마 올라가는지(rise over run)"를 나타내는 값으로, 직선의 방정식 \(y = mx + b\)에서 \(m\)이 바로 기울기입니다. 계산 버튼을 누르면 예각이 도(°) 단위로 표시되고, 그 보각인 둔각도 함께 나옵니다.
공식 풀이
두 직선이 이루는 각 \(\theta\)는 다음 공식으로 구합니다.
$$\theta = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\right) \times \frac{180}{\pi}$$절댓값을 씌우면 탄젠트 값이 항상 0 이상이 되어 예각을 얻을 수 있습니다. arctan의 결과는 라디안 단위이므로, 도(°) 단위로 바꾸려면 \(\frac{180}{\pi}\)를 곱합니다. 한 가지 특수한 경우는 \(1 + m_1 m_2 = 0\)일 때입니다. 이때는 분모가 0이 되며, 두 직선은 서로 수직이고 각도는 정확히 90°가 됩니다. 이 계산기는 이러한 경우도 자동으로 처리합니다.
예제로 살펴보기
직선 1의 기울기가 \(m_1 = 1\)이고 직선 2의 기울기가 \(m_2 = 0\)(수평선)이라고 해 봅시다. 그러면 $$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$이 됩니다. 따라서 \(\theta = \arctan(1) = 45^\circ\)입니다. 둔각은 \(180 - 45 = 135^\circ\)가 됩니다.
주요 용어 및 변수
- 기울기 (m)
- 직선의 가파른 정도로, 수직 변화와 수평 변화의 비율로 정의되며, \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)입니다. 크기가 클수록 직선이 더 가파르며, 양의 기울기는 좌에서 우로 상승하고 음의 기울기는 하강합니다.
- 경사각
- 한 직선이 양의 x축과 이루는 각도로, 반시계 방향으로 측정됩니다. 기울기와의 관계는 \(m = \tan(\alpha)\)입니다. 두 직선 사이의 각도는 그들의 경사각의 차이입니다.
- 예각
- \(90^\circ\)보다 작은 각도입니다. 접선 공식의 절댓값은 항상 교차하는 두 직선 사이의 예각을 생성합니다.
- 둔각 (보각)
- \(90^\circ\)와 \(180^\circ\) 사이의 각도입니다. 교차하는 두 직선은 예각 \(\theta\)와 그 보각 \(180^\circ - \theta\) 모두를 형성하며, 함께 교점에서의 네 개의 각을 나타냅니다.
- 역탈젠트 (역탄젠트, tan⁻¹)
- 탄젠트가 주어진 값과 같은 각도를 반환하는 함수로, \(\theta = \tan^{-1}(x)\)입니다. 주 범위는 \(-90^\circ\)에서 \(90^\circ\)이므로, 음이 아닌 입력에 적용하면 예각을 생성합니다.
- 수직선
- \(90^\circ\)에서 만나는 두 직선입니다. 수직이 아닌 직선의 경우 \(m_1 m_2 = -1\)일 때 발생하며, 이는 분모 \(1 + m_1 m_2 = 0\)을 만들고 탄젠트를 정의되지 않게 합니다.
- 평행선
- 절대 교차하지 않고 같은 기울기를 갖는 두 직선으로, \(m_1 = m_2\)입니다. 그러면 공식은 분자가 0이므로 \(\theta = \tan^{-1}(0) = 0^\circ\)입니다.
자주 묻는 질문
두 직선이 평행하면 어떻게 되나요? 평행한 두 직선은 기울기가 같으므로(\(m_1 = m_2\)) \(\theta = 0^\circ\)가 됩니다.
수직선(세로 직선)은 어떻게 입력하나요? 수직선은 기울기가 정의되지 않으므로 직접 입력할 수 없습니다. 대신 아주 큰 기울기 값을 사용하거나, 어느 직선을 수직선으로 둘지 바꾸어 문제를 다시 세우면 됩니다.
왜 답이 두 개인가요? 교차하는 두 직선은 항상 합이 180°가 되는 예각과 둔각을 동시에 만듭니다. 일반적으로 두 직선의 "사잇각"이라고 하면 예각을 가리킵니다.
