¿Qué es el ángulo entre dos rectas?
Cuando dos rectas se cruzan, forman dos pares de ángulos: uno agudo y su suplementario obtuso. Esta calculadora obtiene ese ángulo de intersección directamente a partir de las pendientes de ambas rectas, \(m_1\) y \(m_2\), sin necesidad de representarlas gráficamente. Es una herramienta imprescindible en geometría analítica, trigonometría, topografía y gráficos por ordenador.
Cómo usar la calculadora
Introduce la pendiente de la primera recta (\(m_1\)) y la de la segunda (\(m_2\)). La pendiente es la relación entre la variación vertical y la horizontal de cada recta: en la ecuación \(y = mx + b\), la \(m\) es precisamente la pendiente. Pulsa calcular y verás el ángulo agudo en grados, junto con su ángulo obtuso suplementario.
La fórmula explicada
El ángulo θ entre dos rectas se calcula así:
$$\theta = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\right)$$
El valor absoluto garantiza una tangente no negativa, lo que da como resultado el ángulo agudo. El resultado de la función arcotangente viene en radianes, por lo que lo multiplicamos por \(\frac{180}{\pi}\) para pasarlo a grados. Existe un caso especial cuando \(1 + m_1 m_2 = 0\): el denominador se anula, las rectas son perpendiculares y el ángulo es exactamente 90°. La calculadora resuelve este caso de forma automática.
Ejemplo resuelto
Imagina que la recta 1 tiene pendiente \(m_1 = 1\) y la recta 2 tiene pendiente \(m_2 = 0\) (una recta horizontal). Entonces $$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.$$ Por tanto, \(\theta = \arctan(1) = 45^\circ\). El ángulo obtuso es \(180 - 45 = 135^\circ\).
Términos clave y variables
- Pendiente (m)
- La inclinación de una línea, definida como la razón del cambio vertical al cambio horizontal, \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Una magnitud mayor significa una línea más inclinada; una pendiente positiva sube de izquierda a derecha mientras que una pendiente negativa cae.
- Ángulo de inclinación
- El ángulo que forma una sola línea con el eje x positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Se relaciona con la pendiente mediante \(m = \tan(\alpha)\). El ángulo entre dos líneas es la diferencia de sus ángulos de inclinación.
- Ángulo agudo
- Un ángulo menor que \(90^\circ\). El valor absoluto en la fórmula de tangente siempre produce el ángulo agudo entre dos líneas que se cruzan.
- Ángulo obtuso (suplementario)
- Un ángulo entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\). Dos líneas que se cruzan forman tanto un ángulo agudo \(\theta\) como su suplemento \(180^\circ - \theta\); juntos representan los cuatro ángulos en el punto de cruce.
- Arcotangente (tangente inversa, tan⁻¹)
- La función que devuelve el ángulo cuya tangente es igual a un valor dado, \(\theta = \tan^{-1}(x)\). Su rango principal es \(-90^\circ\) a \(90^\circ\), por lo que aplicada a una entrada no negativa produce un ángulo agudo.
- Líneas perpendiculares
- Dos líneas que se encuentran en \(90^\circ\). Para líneas no verticales esto ocurre cuando \(m_1 m_2 = -1\), lo que hace que el denominador \(1 + m_1 m_2 = 0\) y la tangente sea indefinida.
- Líneas paralelas
- Dos líneas que nunca se cruzan y tienen pendientes iguales, \(m_1 = m_2\). La fórmula entonces da un numerador de 0, por lo que \(\theta = \tan^{-1}(0) = 0^\circ\).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si las rectas son paralelas? Las rectas paralelas tienen la misma pendiente (\(m_1 = m_2\)), por lo que \(\theta = 0^\circ\).
¿Cómo introduzco una recta vertical? Una recta vertical tiene pendiente indefinida, así que no se puede introducir directamente. Como alternativa, usa una pendiente muy grande para aproximar la vertical o replantea el problema.
¿Por qué se obtienen dos resultados? Dos rectas que se cortan siempre forman un ángulo agudo y otro obtuso que suman 180°. El ángulo agudo es el que se considera convencionalmente como el «ángulo entre» las rectas.
