¿Qué es la calculadora del ángulo entre dos vectores?
Esta herramienta calcula el ángulo que forman dos vectores a partir de sus componentes en el espacio bidimensional (2D) o tridimensional (3D). Se apoya en el producto escalar, una de las identidades más fundamentales del álgebra vectorial. Tanto si trabajas en física, gráficos por ordenador, aprendizaje automático o ingeniería, conocer el ángulo entre dos direcciones es una tarea habitual e imprescindible.
Cómo utilizarla
Introduce las componentes x, y, z del Vector A y del Vector B. Para problemas en dos dimensiones, basta con dejar los campos de la componente z en blanco o ponerlos a 0. La calculadora devuelve el ángulo tanto en grados como en radianes, y además muestra el producto escalar, el módulo de cada vector y el coseno del ángulo, de modo que puedas seguir todo el proceso paso a paso.
La fórmula explicada
El ángulo \(\theta\) cumple la relación:
$$\theta = \arccos\left( \dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert \, \lVert \vec{B} \rVert} \right)$$
Aquí el producto escalar es \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z\), y el módulo de cada vector es la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado, por ejemplo \(\lVert \vec{A} \rVert = \sqrt{\text{A}_x^2 + \text{A}_y^2 + \text{A}_z^2}\). Al dividir el producto escalar entre el producto de los módulos se obtiene \(\cos \theta\), y al aplicar el arcocoseno se halla el ángulo, que siempre está comprendido entre 0° y 180°.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = (1, 0, 0)\) y \(b = (1, 1, 0)\). El producto escalar es $$1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.$$ Los módulos son \(|a| = 1\) y \(|b| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Por tanto, $$\cos \theta = \frac{1}{1 \times 1{,}4142} \approx 0{,}7071,$$ y \(\theta = \arccos(0{,}7071) = 45°\).
Preguntas frecuentes
¿Sirve para vectores en 2D? Sí: deja las componentes z a 0 y el cálculo se reduce al caso plano.
¿Qué ocurre si un vector es nulo? El ángulo no está definido para un vector nulo, así que la calculadora devuelve 0 para evitar dividir entre cero.
¿Por qué el resultado está siempre entre 0 y 180 grados? La función arcocoseno solo proporciona valores dentro de ese rango, que corresponde al menor ángulo no orientado entre los dos vectores.
