दो सदिशों के बीच कोण कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल 2D या 3D स्पेस में दिए गए दो सदिशों (vectors) के घटकों से उनके बीच का कोण निकालता है। यह डॉट प्रोडक्ट (अदिश गुणनफल) के संबंध पर आधारित है, जो सदिश बीजगणित की सबसे बुनियादी पहचानों में से एक है। चाहे आप भौतिकी, कंप्यूटर ग्राफिक्स, मशीन लर्निंग या इंजीनियरिंग में काम कर रहे हों, दो दिशाओं के बीच का कोण जानना एक आम और ज़रूरी काम है।
इसका उपयोग कैसे करें
सदिश A और सदिश B के x, y और z घटक दर्ज करें। दो-आयामी (2D) समस्याओं के लिए बस z वाले बॉक्स खाली छोड़ दें या उनमें 0 डाल दें। कैलकुलेटर कोण को डिग्री और रेडियन दोनों में देता है, साथ ही डॉट प्रोडक्ट, हर सदिश का परिमाण (magnitude) और कोण का कोसाइन भी दिखाता है ताकि आप पूरी गणना समझ सकें।
सूत्र की व्याख्या
कोण θ इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
$$\theta = \arccos\left( \dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert \, \lVert \vec{B} \rVert} \right)$$
यहाँ डॉट प्रोडक्ट है \(a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\), और हर परिमाण घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है, जैसे \(|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)। डॉट प्रोडक्ट को परिमाणों के गुणनफल से भाग देने पर \(\cos\theta\) मिलता है, और इसका arccosine लेने पर कोण निकलता है, जो हमेशा 0° और 180° के बीच रहता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = (1, 0, 0)\) और \(b = (1, 1, 0)\)। डॉट प्रोडक्ट होगा $$1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$$ परिमाण हैं \(|a| = 1\) और \(|b| = \sqrt{2} \approx 1.4142\)। इसलिए $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1.4142} \approx 0.7071,$$ और \(\theta = \arccos(0.7071) = 45°\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह 2D सदिशों के लिए काम करता है? हाँ — z घटकों को 0 रखें और गणना अपने आप समतल (2D) वाले मामले में बदल जाती है।
अगर कोई सदिश शून्य हो तो? शून्य सदिश के लिए कोण अपरिभाषित होता है, इसलिए शून्य से भाग देने से बचने के लिए कैलकुलेटर 0 लौटाता है।
परिणाम हमेशा 0 और 180 डिग्री के बीच क्यों होता है? arccosine फ़ंक्शन केवल इसी सीमा में मान देता है, जो दोनों सदिशों के बीच का सबसे छोटा (बिना दिशा वाला) कोण दर्शाता है।
