यह कैलकुलेटर क्या करता है
दो Z-स्कोर के बीच प्रायिकता कैलकुलेटर मानक सामान्य वक्र (standard normal curve) के नीचे का वह क्षेत्रफल निकालता है जो आपके चुने हुए किन्हीं दो z-स्कोर के बीच आता है। सांख्यिकी में, मानक सामान्य बंटन (standard normal distribution) का माध्य (mean) 0 और मानक विचलन (standard deviation) 1 होता है। इसके घंटी के आकार वाले वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 (यानी 100%) के बराबर होता है, और दो बिंदुओं के बीच का क्षेत्रफल यह दर्शाता है कि कोई मानकीकृत मान उस सीमा में आने की प्रायिकता कितनी है। यह टूल उस केंद्रीय प्रायिकता के साथ-साथ दोनों ओर की दो टेल प्रायिकताएँ भी बताता है।
आप कौन-से इनपुट देते हैं
- निचला Z-स्कोर: क्षैतिज अक्ष पर दोनों सीमाओं में से छोटी सीमा।
- ऊपरी Z-स्कोर: बड़ी सीमा।
क्रम को लेकर चिंता करने की ज़रूरत नहीं — अगर आप गलती से बड़ा मान निचली सीमा के रूप में डाल देते हैं, तो कैलकुलेटर अपने आप दोनों को आपस में बदल देता है, ताकि छोटा मान हमेशा बायाँ किनारा माना जाए।
इसमें इस्तेमाल होने वाला सूत्र
मान लीजिए Φ(z) मानक सामान्य बंटन का संचयी बंटन फलन (CDF) है — यानी किसी z-स्कोर के बाईं ओर का क्षेत्रफल। कैलकुलेटर तीन परिणाम निकालता है:
- बीच की प्रायिकता: P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)
- बायाँ टेल: P(Z < z₁) = Φ(z₁)
- दायाँ टेल: P(Z > z₂) = 1 − Φ(z₂)
हर मान दशमलव प्रायिकता और प्रतिशत — दोनों रूपों में दिखाया जाता है। ये तीनों क्षेत्रफल हमेशा जोड़कर 1 (100%) बनते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आप निचला z-स्कोर −1 और ऊपरी z-स्कोर 1 डालते हैं। CDF मान हैं Φ(1) ≈ 0.8413 और Φ(−1) ≈ 0.1587।
- बीच की प्रायिकता: 0.8413 − 0.1587 = 0.6827, यानी लगभग 68.27%
- बायाँ टेल (−1 से नीचे): 0.1587, यानी 15.87%
- दायाँ टेल (1 से ऊपर): 1 − 0.8413 = 0.1587, यानी 15.87%
यह प्रसिद्ध "68% नियम" की पुष्टि करता है — सामान्य रूप से बँटे डेटा का लगभग 68% हिस्सा माध्य के एक मानक विचलन के भीतर आता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मैं ऋणात्मक z-स्कोर इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। z-स्कोर ऋणात्मक (माध्य से नीचे के मान) या धनात्मक (माध्य से ऊपर के मान) हो सकते हैं। दोनों इनपुट किसी भी वास्तविक संख्या को स्वीकार करते हैं।
अगर दोनों z-स्कोर एक जैसे हों तो क्या होगा? दो एक समान बिंदुओं के बीच का क्षेत्रफल शून्य होता है, इसलिए बीच की प्रायिकता 0% होगी, और बाकी हिस्सा बाएँ व दाएँ टेल में बँट जाएगा।
कच्चे डेटा से z-स्कोर कैसे निकालें? किसी कच्चे मान x को z = (x − माध्य) ÷ मानक विचलन से बदलें, फिर प्राप्त z-स्कोर यहाँ डालकर उनके बीच की प्रायिकता पाएँ।
