이 계산기의 기능
두 Z점수 사이 확률 계산기는 표준정규분포 곡선에서 여러분이 지정한 두 Z점수 사이에 놓인 면적을 구해 줍니다. 통계학에서 표준정규분포는 평균이 0, 표준편차가 1인 분포를 말합니다. 종 모양 곡선 아래의 전체 면적은 1(즉 100%)이며, 두 지점 사이의 면적은 표준화된 값이 그 구간에 들어올 확률을 나타냅니다. 이 도구는 두 점 사이의 중심 확률은 물론, 양쪽 바깥쪽에 해당하는 두 꼬리 확률까지 함께 알려 줍니다.
입력해야 하는 값
- 아래쪽 Z점수: 가로축에서 두 경계값 중 작은 쪽입니다.
- 위쪽 Z점수: 두 경계값 중 큰 쪽입니다.
순서는 신경 쓰지 않아도 됩니다. 실수로 더 큰 값을 아래쪽 경계에 넣더라도, 계산기가 자동으로 두 값을 바꿔서 항상 작은 값이 왼쪽 경계가 되도록 처리합니다.
사용하는 공식
Φ(z)를 표준정규분포의 누적분포함수(CDF), 즉 특정 Z점수의 왼쪽 면적이라고 합시다. 이 계산기는 다음 세 가지 결과를 계산합니다.
- 구간 사이 확률: P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)
- 왼쪽 꼬리: P(Z < z₁) = Φ(z₁)
- 오른쪽 꼬리: P(Z > z₂) = 1 − Φ(z₂)
각 값은 소수 형태의 확률과 백분율로 함께 표시됩니다. 세 면적을 모두 더하면 언제나 1(100%)이 됩니다.
계산 예시
아래쪽 Z점수에 −1, 위쪽 Z점수에 1을 입력했다고 가정해 봅시다. CDF 값은 Φ(1) ≈ 0.8413, Φ(−1) ≈ 0.1587입니다.
- 구간 사이 확률: 0.8413 − 0.1587 = 0.6827, 약 68.27%
- 왼쪽 꼬리(−1 아래): 0.1587, 즉 15.87%
- 오른쪽 꼬리(1 위): 1 − 0.8413 = 0.1587, 즉 15.87%
이는 잘 알려진 "68% 규칙"을 확인해 줍니다. 정규분포를 따르는 데이터의 약 68%는 평균에서 표준편차 1배 이내에 분포한다는 뜻입니다.
자주 묻는 질문
음수 Z점수도 사용할 수 있나요? 네. Z점수는 음수(평균보다 작은 값)일 수도, 양수(평균보다 큰 값)일 수도 있습니다. 두 입력칸 모두 어떤 실수든 받을 수 있습니다.
두 Z점수가 같으면 어떻게 되나요? 동일한 두 점 사이의 면적은 0이므로 구간 사이 확률은 0%가 되고, 나머지는 모두 왼쪽과 오른쪽 꼬리가 차지하게 됩니다.
원자료에서 Z점수는 어떻게 구하나요? 원래 값 x를 z = (x − 평균) ÷ 표준편차 공식으로 변환한 뒤, 얻은 Z점수들을 이곳에 입력하면 그 사이의 확률을 구할 수 있습니다.
