Что вычисляет этот калькулятор
Калькулятор вероятности между двумя z-значениями находит площадь под стандартной нормальной кривой, заключённую между двумя выбранными вами z-значениями. В статистике стандартное нормальное распределение имеет среднее, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1. Вся площадь под его колоколообразной кривой равна 1 (или 100%), а площадь между двумя точками — это вероятность того, что стандартизованная величина попадёт в заданный диапазон. Помимо этой центральной вероятности калькулятор показывает и вероятности двух «хвостов» по обе стороны от диапазона.
Какие данные нужно ввести
- Нижнее z-значение: меньшая из двух границ на горизонтальной оси.
- Верхнее z-значение: большая граница.
О порядке ввода можно не беспокоиться: если вы случайно укажете в качестве нижней границы большее число, калькулятор сам поменяет значения местами, чтобы меньшее всегда оказывалось левым краем диапазона.
Используемая формула
Пусть Φ(z) — функция распределения (CDF) стандартного нормального закона, то есть площадь слева от заданного z-значения. Калькулятор рассчитывает три величины:
- Вероятность между значениями: P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)
- Левый хвост: P(Z < z₁) = Φ(z₁)
- Правый хвост: P(Z > z₂) = 1 − Φ(z₂)
Каждый результат выводится и как десятичная вероятность, и как процент. Сумма всех трёх площадей всегда равна 1 (100%).
Разбор примера
Допустим, вы ввели нижнее z-значение −1 и верхнее z-значение 1. Значения функции распределения: Φ(1) ≈ 0,8413 и Φ(−1) ≈ 0,1587.
- Вероятность между значениями: 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, то есть около 68,27%
- Левый хвост (ниже −1): 0,1587, или 15,87%
- Правый хвост (выше 1): 1 − 0,8413 = 0,1587, или 15,87%
Это подтверждает известное «правило 68%»: примерно 68% значений нормально распределённых данных лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего.
Часто задаваемые вопросы
Можно ли использовать отрицательные z-значения? Да. Z-значения могут быть отрицательными (величины ниже среднего) или положительными (выше среднего). Оба поля принимают любое действительное число.
Что будет, если оба z-значения одинаковы? Площадь между двумя совпадающими точками равна нулю, поэтому вероятность между ними составит 0%, а всё остальное придётся на левый и правый хвосты.
Как получить z-значение из исходных данных? Преобразуйте исходное значение x по формуле z = (x − среднее) ÷ стандартное отклонение, а затем подставьте полученные z-значения сюда, чтобы найти вероятность между ними.
