Что делает этот калькулятор
Калькулятор расстояния между двумя точками в 3D находит длину прямого отрезка (евклидово расстояние) между любыми двумя точками в трёхмерном декартовом пространстве. Введите координаты X, Y и Z для каждой точки — и инструмент выдаст расстояние с точностью до шести знаков после запятой, а также покажет промежуточные вычисления. Координаты безразмерны, поэтому итоговое расстояние измеряется в тех единицах, которые вы подразумеваете для введённых значений (метры, футы, пиксели и т. д.).
Как пользоваться
Впишите координаты первой точки в поля X1, Y1, Z1, а второй точки — в поля X2, Y2, Z2. Все шесть значений могут быть положительными, отрицательными, целыми или дробными. Нажмите «Рассчитать» и считайте расстояние из выделенного поля с результатом. Порядок точек не важен: каждая разность возводится в квадрат, поэтому результат не изменится.
Разбор формулы
Формула расстояния в 3D обобщает теорему Пифагора на три оси:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Вы находите разность вдоль каждой оси, возводите каждую разность в квадрат (это убирает знак), складываете три квадрата и извлекаете квадратный корень из суммы. Расстояние всегда равно нулю или положительно, а нулю оно равно только тогда, когда обе точки совпадают. Чтобы вычислить расстояние на плоскости (2D), задайте оба значения Z одинаковыми — например, оба равными 0.
Разбор примера
Для точек (7, 4, 3) и (17, 6, 2) разности равны 10, 2 и -1. Их квадраты — 100, 4 и 1, в сумме 105. Расстояние составляет \(\sqrt{105} = 10.246951\). Второй пример: (5, 6, 2) и (-7, 11, -13) даёт разности -12, 5, -15, квадраты 144, 25, 225, сумму 394, поэтому \(d = \sqrt{394} = 19.849433\).
Частые вопросы
Влияет ли порядок точек на результат? Нет. Поскольку каждая разность координат возводится в квадрат, перестановка точек даёт то же самое расстояние.
В каких единицах получается ответ? Результат выражен в тех же единицах, что и введённые координаты; калькулятор не выполняет никаких пересчётов единиц.
Можно ли использовать отрицательные координаты? Да. Отрицательные целые и дробные числа полностью поддерживаются для всех шести значений.
Определения и глоссарий
Приведённые ниже термины описывают концепции и переменные, используемые при вычислении расстояния по прямой между двумя точками в трёхмерном пространстве.
- Евклидово расстояние — Прямолинейное (кратчайшее) расстояние между двумя точками, измеренное «по прямой» через пространство, а не вдоль осей или криволинейного пути. В 3D оно задаётся формулой \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
- Декартовы координаты — Система, которая определяет положение точки, используя знаковые расстояния от трёх взаимно перпендикулярных осей (X, Y, Z), пересекающихся в начале координат \((0,0,0)\). Точка записывается в виде упорядоченной тройки \((x, y, z)\).
- \(x_1, y_1, z_1\) — Координаты X, Y и Z первой точки, \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\).
- \(x_2, y_2, z_2\) — Координаты X, Y и Z второй точки, \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\).
- Дельта (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — Изменение, или разница, в каждой координате между двумя точками: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\) и \(\Delta z = z_2 - z_1\). Поскольку каждая дельта возводится в квадрат, порядок вычитания (и, следовательно, знак) не влияет на итоговое расстояние.
- Пространственная диагональ — Самая длинная прямая линия, проходящая через прямоугольный ящик (кубоид), проведённая между противоположными углами. Если ящик имеет длины рёбер \(\Delta x\), \(\Delta y\) и \(\Delta z\), его пространственная диагональ равна трёхмерному расстоянию \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) — ровно тому значению, которое возвращает этот калькулятор.
- Связь с теоремой Пифагора — Формула 3D расстояния — это теорема Пифагора, применённая дважды. Сначала диагональ в базовой плоскости X-Y равна \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). Если рассматривать эту диагональ и вертикальное смещение \(\Delta z\) как два катета второго прямоугольного треугольника, получаем \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). Трёхмерное расстояние — это также величина вектора \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\).
Расстояния между различными парами точек
Таблица ниже демонстрирует расчёт нескольких репрезентативных пар точек по формуле \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). Каждая строка содержит разности по каждой оси, сумму их квадратов и получаемое расстояние. Обратите внимание, что совпадающие точки дают расстояние ноль, а отрицательные координаты всё равно дают положительное расстояние, потому что каждая дельта возводится в квадрат.
| Сценарий | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | Сумма квадратов | Расстояние \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Выровнено по оси (только X) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| Выровнено по оси (только Z) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| Диагональ единичного куба | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| Чистная пифагорейская тройка | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| Общая диагональ | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| С отрицательными координатами | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| Совпадающие точки | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Для строки «общая диагональ» полная подстановка: \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
