À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de distance entre deux points en 3D détermine la distance en ligne droite (distance euclidienne) entre deux points quelconques dans un espace cartésien à trois dimensions. Saisissez les coordonnées X, Y et Z de chaque point : l'outil renvoie la distance, affichée avec six décimales, ainsi que les étapes intermédiaires du calcul. Les coordonnées sont sans dimension : la distance obtenue s'exprime donc dans l'unité que vous avez choisie pour vos données (mètres, pieds, pixels, etc.).
Comment l'utiliser
Renseignez les coordonnées du premier point dans les champs X1, Y1, Z1, puis celles du second point dans les champs X2, Y2, Z2. Les six valeurs peuvent être positives, négatives, entières ou décimales. Cliquez sur Calculer et lisez la distance dans l'encadré de résultat mis en évidence. L'ordre des deux points n'a aucune importance, car chaque écart est élevé au carré.
La formule expliquée
La formule de distance en 3D prolonge le théorème de Pythagore à trois axes :
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$On calcule l'écart le long de chaque axe, on élève chaque écart au carré (ce qui supprime le signe), on additionne les trois carrés, puis on prend la racine carrée de cette somme. La distance est toujours nulle ou positive, et elle ne vaut zéro que lorsque les deux points sont confondus. Pour obtenir une distance en 2D, attribuez la même valeur aux deux coordonnées Z (par exemple, 0 pour les deux).
Exemple concret
Pour les points (7, 4, 3) et (17, 6, 2) : les écarts sont 10, 2 et -1. Leurs carrés valent 100, 4 et 1, soit une somme de 105. La distance est donc \(\sqrt{105} = 10{,}246951\). Deuxième exemple, (5, 6, 2) et (-7, 11, -13) : les écarts sont -12, 5 et -15, leurs carrés 144, 25 et 225, soit une somme de 394, d'où \(d = \sqrt{394} = 19{,}849433\).
Foire aux questions
L'ordre des points modifie-t-il le résultat ? Non. Comme chaque écart de coordonnées est élevé au carré, inverser les deux points donne exactement la même distance.
Dans quelle unité s'exprime le résultat ? Le résultat est exprimé dans la même unité que vos coordonnées ; le calculateur n'effectue aucune conversion d'unité.
Puis-je utiliser des coordonnées négatives ? Oui. Les nombres entiers et décimaux négatifs sont pris en charge pour les six valeurs.
Définitions et Glossaire
Les termes ci-dessous décrivent les concepts et variables utilisés lors du calcul de la distance en ligne droite entre deux points dans un espace tridimensionnel.
- Distance euclidienne — La distance en ligne droite (la plus courte) entre deux points, mesurée « à vol d'oiseau » dans l'espace plutôt que le long des axes ou d'un chemin courbe. En 3D, elle est donnée par \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
- Coordonnées cartésiennes — Un système qui localise un point en utilisant les distances signées à partir de trois axes mutuellement perpendiculaires (X, Y, Z) qui se rencontrent à l'origine \((0,0,0)\). Un point s'écrit comme un triplet ordonné \((x, y, z)\).
- \(x_1, y_1, z_1\) — Les coordonnées X, Y et Z du premier point, \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\).
- \(x_2, y_2, z_2\) — Les coordonnées X, Y et Z du deuxième point, \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\).
- Delta (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — Le changement, ou la différence, dans chaque coordonnée entre les deux points : \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\), et \(\Delta z = z_2 - z_1\). Étant donné que chaque delta est au carré, l'ordre de la soustraction (et donc le signe) n'affecte pas la distance finale.
- Diagonale spatiale — La plus longue ligne droite à travers une boîte rectangulaire (parallélépipède), reliant les coins opposés. Si une boîte a des longueurs d'arête \(\Delta x\), \(\Delta y\) et \(\Delta z\), sa diagonale spatiale est égale à la distance 3D \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) — exactement la valeur que cette calculatrice retourne.
- Relation au théorème de Pythagore — La formule de distance 3D est le théorème de Pythagore appliqué deux fois. D'abord, la diagonale à travers le plan de base X-Y est \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). En traitant cette diagonale et le décalage vertical \(\Delta z\) comme les deux jambes d'un deuxième triangle rectangle, on obtient \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). La distance 3D est également la magnitude du vecteur \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\).
Distance entre différentes paires de points
Le tableau ci-dessous calcule plusieurs paires de points représentatives à travers la formule \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). Chaque ligne liste les différences par axe, la somme de leurs carrés et la distance résultante. Notez que les points coïncidents donnent une distance de zéro, et que les coordonnées négatives produisent toujours une distance positive car chaque delta est au carré.
| Scénario | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | Somme des carrés | Distance \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Aligné sur l'axe (X uniquement) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| Aligné sur l'axe (Z uniquement) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| Diagonale du cube unité | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1,732\) |
| Triple de Pythagore propre | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| Diagonale générale | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| Avec des négatifs | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| Points coïncidents | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Pour la ligne « diagonale générale », la substitution complète est \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
